L4 · 第 8 章

读 Huberman 等人 2019 年的石墨第二声论文

Sandbox Physics · 2026-10-30

请在旁边打开 arXiv:1901.09160 第 1 版，即 Huberman 等人发表在《科学》上的论文《在 100 K 以上的石墨中观察到第二声》。它的四张主图各回答一个问题：常温下热光栅怎样衰减，低温下信号为什么翻负，翻负的速度是多少、能不能是别的波，以及这种现象在多大的温度和周期范围内出现。这一章按图的顺序读，每一步说明看哪里、它证明了什么、最容易读错的地方在哪里，并用前几章的公式复算几个关键数字。

论文的主张和测量的量

论文的主张写在摘要里：在 5 到 20 µm 的尺度上，用时间分辨的光学测量，直接在 100 K 以上的石墨中看到了第二声；第一性原理计算预言，在约 1 µm 的尺度上，这种波动性的声子流体力学可以一直持续到接近室温。

先弄清测量的是什么。样品是高定向热解石墨，晶粒约 10 µm，各晶粒的 c 轴都垂直于表面。515 nm 泵浦光在约 30 nm 的趋肤深度内被吸收，形成热光栅；热膨胀让表面起伏，探测光被起伏衍射。外差探测给出的信号正比于表面起伏的振幅 $u(t)$ ，补充材料用钨样品校准外差相位，确认石墨只给出起伏造成的相位光栅信号。

容易读错的地方：信号是热膨胀，不是温度本身。作者在讨论中也指出，非平衡时不同声子模式的格林艾森参数不同，热膨胀不一定严格跟随温度，而他们的模拟输出的是温度。

来源：S. Huberman · A. A. Maznev

图 1：300 K 下仍是指数衰减，但不是扩散

看图 1B 的波形和图 1C 的表观扩散率。37.5 µm 周期给出 11 cm²/s，与文献一致。周期缩短到 3.7 µm 时， $L^2/(4\pi^2\tau)$ 下降，衰减比扩散方程预言的慢，而每条曲线仍是指数形。第一性原理模拟复现了这个趋势。

容易读错的地方：曲线是指数形，不等于输运是扩散。判断扩散要看衰减时间是否与 $L^2$ 成正比。作者在讨论图 4 时把这种状态叫“准扩散”：指数衰减，但时间不按 $L^2$ 变化。这正是 Maznev 等人 2011 年预言的尺寸效应。

来源：S. Huberman · A. A. Maznev

图 2：85 K 下信号翻负，以及它为什么不是表面声波

看图 2A。85 K 下各周期的信号都出现阻尼振荡并降到零以下。外差探测里信号翻负意味着光栅的空间相位移动了半个周期：原来的温度极大处变成了极小处。作者指出，扩散中热只能从热处流向冷处，冷热条纹不可能互换，所以翻负是波动性导热的标志。周期越长，凹陷越浅，最终消失；凹陷的时刻随周期增大而推后。

图 2A 的插图画出由第一个极小值的位置得到的频率随波数的变化，第一个极小值对应半个振荡周期。用直线拟合，作者得到约 3200 m/s 的速度。

容易读错的地方：热光栅信号里本来就常有表面声波造成的振荡。作者给出两条理由排除它：石墨基面上的表面声波速度是 1480 m/s，快横波为 14700 m/s，纵波更快，都与 3200 m/s 不符；而且声波没有理由在升温或加大周期时消失。

来源：S. Huberman

模拟：全散射矩阵的玻尔兹曼方程

作者求解线性化的声子玻尔兹曼方程，碰撞项用完整的三声子散射矩阵，输入来自密度泛函理论，并计入天然同位素（1.1% 的碳 13）造成的质量无序散射。他们用 Chiloyan 等人的方法算出频域格林函数，再做傅里叶变换得到时域波形，整个计算没有拟合参数。

图 2B 中，频域格林函数出现共振峰，这是第二声的标志。由共振峰的位置算出的速度是 3650 m/s，比实测高一些。理论正确地预言了第二声速度介于慢横波和快横波之间。作者指出，在其他材料中观测到的第二声都比最慢的声子还慢；石墨的特殊之处在于慢横波极慢，它很强的非简谐性和很高的态密度造成了强烈的正常散射。

容易读错的地方：模拟与实验是“定性一致”，作者自己这样写。波形的细节差异，补充材料里有逐条对比；模拟温度是 80 K，实验是 85 K，图 3 的说明里写明了这一点。

来源：S. Huberman · S. Lee

图 3 和图 4：温度窗口有多宽

图 3 固定周期为 10 µm，改变温度。104 K 和 125 K 时振荡仍然明显，150 K 时消失；降到 50 K 时振荡也消失。80 K 以下实验和模拟的差别变大：50 K 的模拟仍有一个约 1.5 ns 的凹陷，只是不再变负。作者认为一个可能原因是模拟假设了热化的初始分布，而低温下输运趋向弹道，这个假设越来越不准。

同一张图里还有一条把散射全部关掉的弹道极限模拟：凹陷消失了，衰减反而变慢。作者的解释是，正常散射把能量重新分配给群速度更高的模式。这一点与第五章的灰体模型不同：灰体里所有声子同速，自由飞行也会产生一个小的负凹陷。

图 4 是预言的第二声窗口：在 50 到 250 K 之间，温度越高，需要的周期越短。10 µm 周期的窗口在约 150 K 关闭，与观测一致；1.5 µm 周期可以一直看到 250 K。作者也说明，他们的装置时间分辨率不够，测不了约 5 µm 以下的周期。补充材料的图 S6 显示，同位素纯净的石墨阻尼明显更小，窗口会更宽。

来源：S. Huberman · S. Lee

补充材料里的加热量

一个自然的担心是：泵浦把样品加热了多少，测到的还是 85 K 的性质吗？补充材料估算，85 K 时泵浦刚结束的光栅振幅约 57 K，平均温升约 28 K；但到凹陷出现时，面外导热已经把表面温度降了约 20 倍。对 7.5 µm 的曲线，凹陷在约 1.2 ns 处到达最低，此时平均温度只比 85 K 高约 1.4 K，振荡期间的光栅振幅约 0.2 K。

他们还检查了线性：泵浦能量或探测功率改变两倍，波形不变；泵浦能量要加到十倍才看得出变化。这说明测到的是小扰动下的线性响应，可以与线性化的玻尔兹曼方程比较。

来源：S. Huberman

完整例题：由极小值时刻估算第二声速度

题目：若热光栅以速度 $v_{II}$ 作无阻尼的驻波振荡，第一个极小值在半个周期处。求 7.5 µm 和 10 µm 周期、速度 3200 m/s 时极小值的时刻，并与补充材料中 7.5 µm 曲线约 1.2 ns 的值比较。

驻波的角频率 $\Omega=v_{II}q$ ，周期 $2\pi/\Omega=L/v_{II}$ ，所以 $t_{\min}=L/(2v_{II})$ 。7.5 µm： $7.5\times10^{-6}/(2\times3200)\,\mathrm s=1.17\,\mathrm{ns}$ ，与约 1.2 ns 一致；10 µm： $1.56\,\mathrm{ns}$ 。

阻尼会让极小值略微推后：第五章的电报方程解中，极小值在 $\pi/\omega'$ ，而 $\omega'<\Omega$ 。所以用 $L/(2t_{\min})$ 估出的速度略偏低。理论值与实测之比 $3650/3200=1.14$ ，即第一性原理速度高出约 14%。

本课程的热光栅实验是灰体模型，只有一个声速和两个散射时间，可以复现翻负、窗口和留出检验的逻辑，但不是石墨：它不能给出石墨的速度，也会在自由飞行时出现图 3 中真实石墨没有的凹陷。

来源：S. Huberman · S. Lee

读同类论文时的清单

第一，测量的到底是什么量，它与要讨论的物理量（这里是温度）之间隔着什么假设。第二，信号的符号是否可信：这里依靠外差探测和相位校准。第三，作者排除了哪些替代解释，用的是什么独立证据：这里是表面声波和其他声速的数值。第四，现象随参数的变化是否与解释一致：凹陷随周期变浅、随温度出现又消失。第五，与理论的比较是否用了拟合参数：这里没有，结果是定性一致。第六，装置的盲区在哪里：这里是 5 µm 以下的周期和低温下的初始分布。

来源：S. Huberman · A. A. Maznev

到实验里试一试

在灰体模型里重走论文的论证

选“第二声：条纹互换”预设，在记录曲线到达最低点时暂停，读出时间，用本章的公式反推波速，再与灰体模型的声速除以根号三比较。
拖动舞台改变周期：周期变长时，凹陷是否像论文图 2A 那样变浅、推后？
选“自由飞行：一个小凹陷”预设，说明灰体模型在哪里与论文图 3 中的弹道极限模拟不同。

练习与解答

10 µm 周期的信号在 1.56 ns 处到达第一个极小值。按无阻尼驻波估算，第二声速度是多少？
展开解答
$v_{II}=L/(2t_{\min})=10\times10^{-6}/(2\times1.56\times10^{-9})\,\mathrm{m/s}\approx3200\,\mathrm{m/s}$ 。有阻尼时极小值会推后，这样估出的速度略偏低。
作者用哪两条理由排除了表面声波造成振荡的可能？
展开解答
一是速度不符：石墨基面上的表面声波为 1480 m/s，快横波为 14700 m/s，纵波更快，都不是 3200 m/s。二是行为不符：声波没有理由在样品升温或周期加大时消失，而观测到的振荡会消失。
补充材料估计，凹陷出现时光栅振幅约 0.2 K，平均温升约 1.4 K。为什么这两个数对论文的结论很重要？
展开解答
它们说明测量时样品仍在 85 K 附近，扰动很小，测到的是线性响应。只有这样，才能把实验与线性化的玻尔兹曼方程直接比较，也才能说观测到的是 85 K 下石墨的性质，而不是激光加热造成的效应。泵浦能量改变两倍波形不变，也支持这一点。
为什么把散射全部关掉以后，石墨的模拟凹陷消失了，而第五章灰体模型的自由飞行仍有一个负凹陷？
展开解答
灰体模型里所有声子速度相同，自由飞行的振幅是 $\sin(qvt)/(qvt)$ ，各声子同步，于是出现负凹陷。真实石墨的声子速度分布很宽，各模式的振荡相互抵消，所以弹道极限下没有凹陷。在真实材料里，凹陷需要正常散射让声子一起漂移。

来源与复算范围

A. A. Maznev, J. A. Johnson and K. A. Nelson, Onset of nondiffusive phonon transport in transient thermal grating decay, Physical Review B 84, 195206 (2011), arXiv:1108.3770v2
通读全文（arXiv 第 2 版）。引言部分：动理学理论给出的几十纳米平均自由程、把灰体近似称为过度简化、理论上常用的两块黑体壁之间的平板、由泵浦光交叉角决定的光栅周期，以及硅在 1 到 10 µm 周期下约 0.3 到 30 ns 的光栅衰减时间。摘要指出，硅的有效热导率在周期大到 10 µm 时仍有明显下降。课程没有引用这篇论文的公式编号。
S. Lee, D. Broido, K. Esfarjani and G. Chen, Hydrodynamic phonon transport in suspended graphene, Nature Communications 6, 6290 (2015), doi:10.1038/ncomms7290
读过正文和方法部分，没有打开补充材料。这里用到：正常散射守恒晶体动量，倒逆散射等电阻性过程不守恒；第二声需要一个介于电阻性散射率和正常散射率之间的频率窗口；三维德拜固体中第二声速度约为声速除以根号三；以及预测的石墨烯第二声速度约 2000 到 3000 m/s。课程没有引用这篇论文的公式编号。
S. Huberman, R. A. Duncan, K. Chen, B. Song, V. Chiloyan, Z. Ding, A. A. Maznev, G. Chen and K. A. Nelson, Observation of second sound in graphite at temperatures above 100 K, Science (2019), doi:10.1126/science.aav3548, arXiv:1901.09160v1
据 arXiv 第 1 版通读全文，包括补充材料。这里用到：515 nm 泵浦、532 nm 探测光外差检测的瞬态光栅装置；扩散时间常数等于周期平方除以四倍 π 平方再除以扩散率；300 K 下 37.5 µm 周期测得 11 cm²/s，以及短周期时比扩散更慢的衰减（图 1）；85 K 时信号翻负和由第一个极小值得到的约 3200 m/s 速度（图 2）；104 K 和 125 K 仍有振荡、150 K 和 50 K 时消失（图 3）；预测的 50 到 250 K 窗口（图 4）；第一性原理给出的 3650 m/s；以及补充材料中 7.5 µm 曲线在约 1.2 ns 处的极小值和振荡期间约 0.2 K 的光栅振幅。没有把《科学》正式发表版与 arXiv 第 1 版逐行对照。