L3 · 第 3 章

薄膜导热：在弹道与扩散之间

Sandbox Physics · 2026-10-30

上一章的两个极限之间，是大多数纳米器件所处的区域：膜厚与自由程相当，声子既不是一次飞过，也没有充分扩散。这一章精确求解这种薄膜的稳态热流，得到一个只依赖克努森数的结果。以 40 nm 硅膜为例，真实热流只有傅里叶定律预言的 43%。损失来自哪里？主要在两块壁附近：膜内紧贴壁的温度与壁本身的温度不同。

两块黑体壁之间的薄膜

沿用第二章的设定：厚度为 $L$ 的薄膜夹在两块黑体壁之间，热壁比冷壁高 $\Delta T$ ，膜内声子只有一种速度和一个自由程。把稳态热流除以弹道上限 $Cv\Delta T/4$ ，得到无量纲热流 $\Psi$ 。它只依赖克努森数，从扩散极限的 0 变到弹道极限的 1。

傅里叶定律给出 $\Psi_F=4\,\mathrm{Kn}/3$ 。克努森数大于 $3/4$ 时它超过 1，上一章已经说明这不可能。真实的 $\Psi$ 必须同时满足两个限制。

\Psi=\frac{q}{Cv\Delta T/4},\qquad \Psi_F=\frac{\kappa\Delta T/L}{Cv\Delta T/4}=\frac{4}{3}\,\mathrm{Kn}

膜的有效热导率

\kappa_{\mathrm{eff}}=qL/\Delta T

与体材料之比等于

\Psi/\Psi_F

。

来源：A. A. Maznev

精确稳态解

以自由程为长度单位，记膜内位置为 $s=x/\Lambda$ ，膜厚为 $1/\mathrm{Kn}$ 。把稳态声子玻尔兹曼方程沿每条飞行路径积分，再对方向平均，就得到只含温度的积分方程：某处的温度，一部分来自热壁直接射来的声子，一部分来自膜内各处最后一次碰撞后射来的声子。路径越长，声子途中被散射的概率越大，这由指数积分函数 $E_n$ 描述。

无量纲温度记为 $\theta=(T-T_c)/\Delta T$ 。解出 $\theta(s)$ 后，到达冷壁的热流也分两部分：热壁发出、途中一次也没散射的声子，以及膜内各处最后一次散射后飞到冷壁的声子。

实验里的绿色稳态值就是把膜分成几百个小格、对这个积分方程逐格精确积分后解出来的，没有用到舞台上的任何一个模拟。分别用热壁和冷壁的公式算热流，两者一致到数值精度，这是一个内部检验。

\theta(s)=\tfrac12E_2(s)+\tfrac12\int_0^{1/\mathrm{Kn}}\theta(s')\,E_1(|s-s'|)\,ds'

其中

E_n(z)=\int_1^{\infty}e^{-zw}\,w^{-n}\,dw

。第一项来自热壁，第二项来自膜内。

\Psi=2E_3\!\left(\frac{1}{\mathrm{Kn}}\right)+2\int_0^{1/\mathrm{Kn}}\theta(s)\,E_2\!\left(\frac{1}{\mathrm{Kn}}-s\right)ds

第一项

2E_3(1/\mathrm{Kn})

是热壁发出的能量中不经散射直接到达冷壁的比例。

来源：A. A. Maznev

串联热阻：一个好记的近似

把热阻看成两段串联：两块壁附近合起来相当于一个弹道热阻 $4/(Cv)$ ，膜内相当于傅里叶热阻 $L/\kappa$ 。以弹道热阻为单位，总热阻是 $1+3/(4\,\mathrm{Kn})$ ，取倒数就得到下面的近似。

这个近似在两个极限下都正确，中间也不差。用精确解检验：把 $1/\Psi-3/(4\,\mathrm{Kn})$ 看作“壁面附加热阻”，近似认为它等于 1；精确解给出的值在克努森数从 0.2 到 1 之间都约为 1.06，膜很薄时降到 1.03。所以近似总是略微高估热流，高估不超过几个百分点。

第六章会从另一个角度推出这个“1”：它正好是两块黑体壁的界面热阻扣掉膜内声子分布不对称的修正之后剩下的部分。

\Psi\approx\frac{1}{1+\dfrac{3}{4\,\mathrm{Kn}}}

克努森数很大时趋于 1，很小时趋于傅里叶定律的

4\,\mathrm{Kn}/3

。

来源：A. A. Maznev · Ioffe Institute

壁面温度跳变

在实验的温度分布图里，膜内温度并不从热壁温度一直降到冷壁温度。紧贴热壁的膜温明显低于热壁，紧贴冷壁的膜温明显高于冷壁，两端各有一个跳变。膜越薄，跳变越大；在弹道极限下，整个膜的温度都接近两壁温度的平均值。

原因是膜内某一点的温度由射向它的所有声子决定。紧贴热壁的位置，朝冷壁方向飞的声子来自热壁，而朝热壁方向飞的声子来自膜内较冷的地方，二者平均后低于热壁温度。这个跳变不是界面材料不好造成的，即使是理想的黑体壁也会有。

跳变就是串联热阻中“壁面附加热阻”的来源。由于它的存在，膜的有效热导率 $\kappa_{\mathrm{eff}}$ 低于体材料，即使膜内的声子散射与体材料完全一样。

来源：A. A. Maznev

瞬态：第一批声子什么时候到达冷壁

实验开始时热壁突然升温。垂直于膜面飞行的声子最快，至少要 $L/v$ 才能到达冷壁，所以冷壁热流在这之前为零。之后热流上升，并在几倍到几十倍的飞行时间内趋于稳态值；克努森数越小，需要的倍数越多，因为热要靠扩散慢慢建立温度分布。

舞台上有两套独立的模拟：一套把方向离散成若干条，用带限制器的迎风格式推进；另一套是蒙特卡罗，声子包在指数分布的自由时间后随机改变方向。两者在统计误差内一致，并都趋向绿色的精确稳态值。

来源：A. A. Maznev

完整例题：40 nm 硅膜

题目：灰体硅的自由程取 37.7 nm，膜厚 40 nm。求克努森数、傅里叶定律给出的无量纲热流、串联近似和精确解、有效热导率之比、穿越时间，以及热壁发出的能量中一次不散射就到达冷壁的比例。

克努森数 $37.7/40=0.943$ 。傅里叶定律给出 $\Psi_F=4\times0.943/3=1.26$ ，超过弹道上限。串联近似给出 $1/(1+0.796)=0.557$ ，精确解为 $\Psi=0.540$ 。

有效热导率之比 $\Psi/\Psi_F=0.540/1.26=0.429$ ：这层膜只能传导体材料预言热流的 43%。壁面附加热阻 $1/0.540-0.796=1.06$ ，与上一节一致。

穿越时间 $L/v=40\,\mathrm{nm}/(6351\,\mathrm{m/s})=6.30\,\mathrm{ps}$ 。热壁能量中不经散射直接到达冷壁的比例为 $2E_3(1/0.943)=0.202$ ，其余约八成至少散射一次。

来源：Ioffe Institute · A. A. Maznev

到实验里试一试

拖动冷壁，扫过弹道和扩散之间

选“厚度接近平均自由程”预设。等冷壁热流稳定后，在数据区的稳态曲线上找到当前克努森数的位置。
拖动蓝色冷壁，把膜从 8 nm 拉到 800 nm，看温度分布两端的跳变怎样随厚度缩小。
在“厚膜：回到傅里叶定律”预设下比较精确值和傅里叶定律，记下二者相差多少。

比较两套模拟与精确值

在“很薄：声子直接飞过”预设下，比较离散方向求解器、蒙特卡罗和绿色精确值，确认它们在误差线内一致。
在高级设置里减少声子包数量，看蒙特卡罗的误差线怎样变宽。

练习与解答

800 nm 硅膜（自由程 37.7 nm）的克努森数是多少？傅里叶定律和精确解分别给出多大的无量纲热流？有效热导率是体材料的多少？
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克努森数 $0.0471$ ，傅里叶定律给出 $\Psi_F=0.0628$ ，精确解约 $0.059$ ，有效热导率约为体材料的 0.94。即使膜厚是自由程的 21 倍，壁面附加热阻仍让热流少了约 6%。
8 nm 硅膜的串联近似给出多少？精确解是 0.842，近似高估了多少？
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克努森数 4.71，近似给出 $1/(1+3/(4\times4.71))=0.863$ ，比精确解高 2.5%。
膜厚仍是 40 nm，但合金散射把自由程缩短到 4 nm。精确解约为 0.1168，有效热导率之比是多少？
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克努森数 0.1，傅里叶定律给出 $0.133$ ，有效热导率之比 $0.1168\times3/(4\times0.1)=0.876$ 。自由程变短后，同一厚度的膜重新接近傅里叶定律；但合金的体热导率本身也降为纯硅的约十分之一。
克努森数为 1 时，热壁发出的能量中有多少不经散射直接到达冷壁？已知 $E_3(1)=0.1097$ 。
展开解答
$2E_3(1)=0.219$ 。即使膜厚只有一个自由程，也有约八成能量途中至少散射一次。

来源与复算范围

Ioffe Institute, NSM Archive: Thermal properties of Silicon (Si) and Mechanical properties, elastic constants, lattice vibrations of Silicon (Si)
两页都通读过（力学页在同一目录的 mechanic.html）。用到的 300 K 数值：比热 0.7 J/(g K)、热导率 1.3 W/(cm K)、热扩散率 0.8 cm²/s、密度 2.329 g/cm³，以及沿 [100] 方向的声速 8.43 km/s（纵波）和 5.84 km/s（横波）。课程把两个声速合成一个德拜平均声速，这一步是我们自己做的，不是页面给出的数值。
A. A. Maznev, J. A. Johnson and K. A. Nelson, Onset of nondiffusive phonon transport in transient thermal grating decay, Physical Review B 84, 195206 (2011), arXiv:1108.3770v2
通读全文（arXiv 第 2 版）。引言部分：动理学理论给出的几十纳米平均自由程、把灰体近似称为过度简化、理论上常用的两块黑体壁之间的平板、由泵浦光交叉角决定的光栅周期，以及硅在 1 到 10 µm 周期下约 0.3 到 30 ns 的光栅衰减时间。摘要指出，硅的有效热导率在周期大到 10 µm 时仍有明显下降。课程没有引用这篇论文的公式编号。