L3 · 第 6 章

界面热阻：热流在两种材料的交界处为什么会跳变

Sandbox Physics · 2026-10-30

热流穿过两种固体的交界面时，温度会突然下降一截，即使两者贴得严丝合缝。原因是声子在界面上会被反射：一侧的声子并不都能进入另一侧。这个跳变与热流之比就是界面热阻，它的倒数叫界面热导。这一章用两个经典模型估算有多少声子能穿过界面，算出一层软而重的薄膜与硅之间的热导，并指出教科书公式里一个容易忽略的问题：两侧完全相同时，它仍然给出一个跳变。

界面上的温度跳变

稳态下热流 $q$ 穿过界面，两侧外推到界面的温度相差 $\Delta T$ 。维基百科的“界面热阻”条目把二者之比定义为界面热阻，它的倒数就是界面热导 $G$ 。条目还给出，大多数以声子导热为主的界面，热导在 80 到 300 MW/(m² K) 之间。

界面热阻相当于多出了一段材料。把它换算成同一种材料的厚度，叫卡皮查长度 $\ell_K=\kappa/G$ 。器件尺寸远大于它时，界面可以忽略；与它相当时，界面就成了主要热阻。

\Delta T=\frac{q}{G},\qquad \ell_K=\frac{\kappa}{G}

界面热阻就是

1/G

，单位 m² K/W。

稳定热流

q

穿过两层材料。每层内部温度沿直线下降；在边界上突然下降

\Delta T=q/G

。把第一层的直线延长到补上这段跳变，延长的长度就是卡皮查长度

\ell_K=\kappa/G

，即热阻与界面相同的那层材料的厚度。原创示意图，未按比例。

来源：Wikipedia: Interfacial thermal resistance · Ioffe Institute

声学失配：完美平整的界面

声学失配模型假设界面在几何上完美，声子作为连续介质中的波弹性地穿过，不发生散射。波在界面上像光一样折射，满足折射定律；透射的比例由两侧的声阻抗 $Z=\rho v$ 决定，阻抗越接近，透射越多。

从快介质进入慢介质时，波向法线偏折，总能进入。从慢介质进入快介质时，入射角超过临界角 $\arcsin(v_1/v_2)$ 的波被全部反射。实验里的声子包统计在每个入射角上抽样，应与下面的公式在误差线内一致。

\frac{\sin\theta_2}{v_2}=\frac{\sin\theta_1}{v_1},\qquad \alpha_{12}(\mu_1)=\frac{4Z_1Z_2\,\mu_1\mu_2}{\left(Z_1\mu_2+Z_2\mu_1\right)^{2}}

这里

\mu=\cos\theta

，是传播方向与界面法线夹角的余弦。这是标量平面波的结果；真实固体有纵波和横波的相互转换，本模型不考虑。

来源：Wikipedia: Interfacial thermal resistance

漫散射失配：忘记来处的界面

漫散射失配模型走另一个极端：界面完全粗糙，声子到达界面后随机地散射，忘记自己来自哪一侧。于是它进入两侧的概率只取决于两侧能接收它的状态有多少，与入射角无关。概率的具体数值由细致平衡确定：平衡时两个方向的能流必须相等。

对两个灰体德拜固体，同一频率下态密度乘声速与 $1/v^2$ 成正比，于是得到下面的式子。维基百科说，弹性散射的假设让声学失配模型的透射概率偏低，所以它通常给出热阻的上限，漫散射失配给出下限。这只是经验规律，不是定理：对本章实验里又软又重的薄膜，灰体声学失配模型给出 95.2 MW/(m² K)，界面热导反而比漫散射失配的 90.9 略高。

Song 和 Chen 用原子尺度的计算检验了“忘记来处”这个假设，发现单个无序界面并不能让声子完全失去记忆，所以漫散射失配模型的适用范围有限。两个模型都是教科书上的极限，不是对某个真实界面的预测。

\alpha_{12}^{\mathrm{DMM}}=\frac{v_2^{-2}}{v_1^{-2}+v_2^{-2}}

两侧都只计入频率低于双方截止频率的声子：高于薄膜截止频率的硅声子在两个模型里都无法进入薄膜。

来源：Wikipedia: Interfacial thermal resistance · Q. Song and G. Chen

从透射概率到界面热导

把透射概率按入射通量加权平均，得到 $\Gamma=2\int_0^1\alpha(\mu)\,\mu\,d\mu$ 。界面热导就是第二章的弹道上限乘上这个平均透射率，只是比热只计能够进入另一侧的那部分声子。

透射率为 1 时，这个公式退化成 $C_1v_1/4$ ，叫辐射极限。它和第二章两块黑体壁之间的弹道上限是同一个数。

G=\frac{v_1}{4}\,\Gamma_{12}\,C_1(\omega<\omega_{D,2}),\qquad \Gamma_{12}=2\int_0^1\alpha_{12}(\mu)\,\mu\,d\mu

细致平衡保证从 2 侧算出的热导与从 1 侧算出的相同；实验把两个结果都算出来互相核对。

来源：Wikipedia: Interfacial thermal resistance · Ioffe Institute

两侧相同也有跳变？教科书公式的修正

把两侧设成同一种材料（“两侧相同”预设）。透射率处处为 1，公式给出 $G=C_1v_1/4$ ，于是界面上仍有一个跳变。可是这里根本没有界面，跳变不应该存在。

问题出在“温度”指什么。教科书公式比较的是射向界面的声子的温度：左侧朝右飞的声子和右侧朝左飞的声子。热流不为零时，扩散区里的声子分布本身就不对称，朝下游飞的声子比当地平衡温度热一些。用第二章的一阶分布可以算出，朝界面飞去的声子的温度比当地平衡温度高 $2q/(Cv)$ 。

把两侧的这部分扣掉，就得到以平衡温度定义的界面热阻（见下式）。两侧相同时它恰好为零。这一步是本课程自己的推导，基于第二章的一阶近似，没有引用文献。第三章薄膜里的“壁面附加热阻 1”正是同一个修正：黑体壁的热阻 $4/(Cv)$ 扣掉膜一侧的 $2/(Cv)$ ，两块壁合起来以弹道热阻为单位等于 1；精确解给出约 1.06，说明一阶近似差几个百分点。

实验的读数仍然使用教科书公式，并在模型说明里注明两侧相同时会留下辐射极限对应的跳变。这样做是为了与文献中的声学失配和漫散射失配数值直接对照。

R_{\mathrm{eq}}=\frac{1}{G}-\frac{2}{C_1v_1}-\frac{2}{C_2v_2}

两侧相同且透射率为 1 时，

1/G=4/(Cv)

，修正后

R_{\mathrm{eq}}=0

。

来源：Wikipedia: Interfacial thermal resistance · A. A. Maznev

完整例题：硅与一层软而重的薄膜

题目：1 侧是灰体硅（声速 6351 m/s，密度 2.329 g/cm³，300 K 下德拜比热 $1.603\times10^{6}\,\mathrm{J\,m^{-3}\,K^{-1}}$ ）；2 侧是假设的薄膜，声速 2 km/s，密度 11 g/cm³。用漫散射失配模型，求 300 K 下的界面热导、卡皮查长度，以及 1 µm 叠层（界面居中、两端温差 10 K）中的界面跳变。

两侧德拜温度分别为 696 K 和 219 K，声阻抗为 14.79 和 22.00 MRayl。漫散射透射率 $\alpha=2^{-2}/(6.351^{-2}+2^{-2})=0.910$ 。薄膜的截止频率很低，硅中只有频率低于它的声子能进入，这部分比热只有 $62{,}900\,\mathrm{J\,m^{-3}\,K^{-1}}$ ，约为总量的 3.9%。

于是 $G=\tfrac14\times6351\times0.910\times62{,}900=90.9\,\mathrm{MW\,m^{-2}\,K^{-1}}$ ，落在维基百科给出的典型范围内，远低于辐射极限 2545 MW/(m² K)。硅的灰体热导率为 128 W/(m K)，卡皮查长度 $\ell_K=128/(90.9\times10^{6})=1.41\,\mu\mathrm m$ 。

叠层的热流 $q=10\,\mathrm K/(R_1+1/G+R_2)=403\,\mathrm{MW/m^2}$ ，界面跳变 $q/G=4.44\,\mathrm K$ ，占总温差的 44.4%。按修正后的定义， $R_{\mathrm{eq}}=1.031\times10^{-8}$ ，比 $1/G=1.101\times10^{-8}\,\mathrm{m^2\,K/W}$ 小约 6%，结论不变。

来源：Wikipedia: Interfacial thermal resistance · Ioffe Institute · Q. Song and G. Chen

到实验里试一试

读出温度计里的跳变

选“软而重的薄膜：明显的跳变”预设。看温度分布图里两侧的直线拟合怎样在白线处错开，读出拟合热导与模型之比。
切换到声学失配模型，比较两个模型的热导。想一想：为什么这里声学失配给出的热阻反而更小？
把叠层厚度调到 10 µm，看界面跳变占总温差的比例降到多少。

临界角与低温界面

选“硬而轻的薄膜：临界角”预设，在穿越概率图上找到透射率降为零的入射角。
选“两侧相同：辐射极限”预设，确认透射率处处为 1，但读数里仍有跳变；用本章的修正解释它。
选“低温界面：温降几乎都在界面”预设，读出卡皮查长度，并与叠层厚度比较。

练习与解答

声阻抗为 14.79 和 22.00 MRayl 的两种材料，声学失配模型在垂直入射时的透射率是多少？
展开解答
$4\times14.79\times22.00/(14.79+22.00)^2=0.962$ 。阻抗相差一半，垂直入射仍有 96% 的能量透过。
硅（6351 m/s）与声速 12 km/s 的硬膜之间，声学失配的临界角是多少？
展开解答
$\arcsin(6.351/12)=32.0^\circ$ 。入射角大于它的硅声子全部被反射，所以这种界面的平均透射率只有 0.17 左右。
在本章例题的界面上，把叠层加厚到 10 µm（界面仍居中），界面跳变占总温差的比例是多少？
展开解答
两层的热阻变为原来的 10 倍， $q=10/(3.91\times10^{-8}+1.10\times10^{-8}+9.89\times10^{-8})=67.1\,\mathrm{MW/m^2}$ ，跳变 $q/G=0.739\,\mathrm K$ ，占 7.39%。叠层比卡皮查长度厚得越多，界面越不重要。
两侧完全相同、透射率为 1 时，教科书公式和修正公式分别给出多大的界面热阻？
展开解答
教科书公式给出 $1/G=4/(Cv)$ ，对硅约 $3.9\times10^{-10}\,\mathrm{m^2\,K/W}$ ；修正公式扣掉两侧各 $2/(Cv)$ ，得到零，与“没有界面”一致。

来源与复算范围

Ioffe Institute, NSM Archive: Thermal properties of Silicon (Si) and Mechanical properties, elastic constants, lattice vibrations of Silicon (Si)
两页都通读过（力学页在同一目录的 mechanic.html）。用到的 300 K 数值：比热 0.7 J/(g K)、热导率 1.3 W/(cm K)、热扩散率 0.8 cm²/s、密度 2.329 g/cm³，以及沿 [100] 方向的声速 8.43 km/s（纵波）和 5.84 km/s（横波）。课程把两个声速合成一个德拜平均声速，这一步是我们自己做的，不是页面给出的数值。
A. A. Maznev, J. A. Johnson and K. A. Nelson, Onset of nondiffusive phonon transport in transient thermal grating decay, Physical Review B 84, 195206 (2011), arXiv:1108.3770v2
通读全文（arXiv 第 2 版）。引言部分：动理学理论给出的几十纳米平均自由程、把灰体近似称为过度简化、理论上常用的两块黑体壁之间的平板、由泵浦光交叉角决定的光栅周期，以及硅在 1 到 10 µm 周期下约 0.3 到 30 ns 的光栅衰减时间。摘要指出，硅的有效热导率在周期大到 10 µm 时仍有明显下降。课程没有引用这篇论文的公式编号。
Wikipedia, Interfacial thermal resistance, revision 1325816272 (5 December 2025)
通读这一修订版。这里用到：温度跳变的定义、声学失配和漫散射失配两个模型及其假设、细致平衡、“声学模型通常给出热阻上限、漫散射模型给出下限”的说法，以及大多数声子主导界面 80 到 300 MW/(m² K) 的热导范围。维基百科是二手来源，课程只用它的定义和典型范围。
Q. Song and G. Chen, Evaluation of diffuse mismatch model for phonon scattering at disordered interfaces, Physical Review B 104, 085310 (2021), arXiv:2106.04745v2
部分阅读：摘要、引言，以及理论部分开头讲漫散射失配模型假设与细致平衡的小节。这里用到：该模型假定声子在漫散射后忘记来处；论文发现单个无序界面并不能抹掉这种记忆，因此模型的适用范围有限。原子尺度格林函数的结果和后面各节没有读，也没有引用。