绕过锥形交叉，为什么重逢时会相消

一圈以后，电子本征矢反了号

采用无量纲电子哈密顿量 $H_e=\begin{pmatrix}x&y\\y&-x\end{pmatrix}$，两条能量为 $E_\pm=\pm\sqrt{x^2+y^2}$。令 $x=R\cos\theta$、$y=R\sin\theta$，正半径 $R$ 固定，角度沿逆时针增加。一个连续的低能实本征矢可写成下式。

角度增加一整圈，本征矢的半角增加半圈，两个分量同时反号。本征能量已回到起点，电子态却带着负号。这对应几何相位 $\pi$，也就是单位模因子 $-1$。

对应阅读：M. V. Berry · C. A. Mead & D. G. Truhlar

相位要连同整圈的重叠一起算

在离散路径上，设相邻点低能态为 $|u_j\rangle$。把相邻内积除以它的模，再把整圈乘起来，包括最后一点回到起点的那一步，就得到闭合路径的相位因子。

若任意一个本征矢乘上局部相位，相邻两个内积会各带一个相反因子，乘积中恰好抵消。这叫规范不变。对于这里的实双态模型，包围原点的平滑路径给出负号，不包围则给出正号。路径经过原点时本征态失去唯一性，必须回到包含态间转移的动力学。

用对称双臂单独比较几何相位

指定两条引导路径 $(x,y)=(c+R\cos\theta,R\sin\theta)$。上臂从左端沿上半圈到右端，下臂沿下半圈。两臂互为镜像，沿程能量与走行时间相同，动力学相位相等。两臂合成的闭合路径是否包围原点，由中心偏移 $c$ 与半径 $R$ 决定。

这是引导绝热双臂振幅模型：核路径由外部指定，没有求解完整二维核薛定谔方程。重合坐标 $q$ 是理想输出端的横向无量纲坐标，高斯 包络 $G(q)$ 积分为一。固定空间条纹波数为 $k$，外加相对相位为 $\varphi$，上臂权重为 $w$。

合束器先把两臂复振幅相加或相减，再各除以根号二。上臂振幅正比于 $\sqrt w\,e^{ikq}$，下臂正比于 $\sqrt{1-w}\,e^{-i(kq+\varphi+\gamma)}$。两者相乘的交叉项给出余弦。

理想平衡合束器产生两组输出分布。两端相加等于包络，概率守恒；几何相位 $\gamma$ 改变两端如何分配同一份总概率。

完整算例：中心亮纹怎样变成暗纹

取两臂等权 $w=1/2$，外加相位 $\varphi=0$，观察中心 $q=0$。不包围交叉时 $\gamma=0$，输出 A 的中心密度为 $G(0)$，B 为零。包围后 $\gamma=\pi$，两端互换。

再加一个 $\pi$ 的外部相位，两次负号抵消，A 中心恢复为亮纹。若改成不等权 $w=0.92$，干涉可见度为 $2\sqrt{0.92\times0.08}\simeq0.543$，即使相消位置也会留下背景，因为两臂振幅大小有差别。

观察到相位效应前，先检查路径的适用条件

把回路移到不再包围原点的位置，围绕原点的次数就会改变。连续移动过程中，必然经过一条触及简并的路径；这时最小能隙降到零，电子可能无法绝热跟随。实验会标出小能隙区域，不能把那段路径当作理想绝热循环。

同样的相位可由不同形状的包围路径给出；改变绕行快慢却会改变动力学相位。这里利用镜像双臂控制了后一项。真实分子中的核分支还会改变路径权重、波包宽度和到达时间，研究时要把这些因素一起处理。