两份核波包什么时候还能干涉

概率相加与振幅相加会给出不同图样

同一电子出口中，两条历史留下振幅 $a(R)$ 与 $b(R)$ 。先相加再取模平方，会多出交叉项。若把两次独立计算的概率直接相加，这项就被去掉了。

两份振幅在不同电子态上时，电子正交性会在总核密度中消去态间交叉项。但它们再次通过耦合区，可把不同历史转到同一个电子出口；这时同态振幅之间的交叉项会影响最终分支。

|a+b|^2=|a|^2+|b|^2+2\operatorname{Re}(a^*b)

要判断具体密度中的干涉，必须指出哪些振幅属于同一个可相加的出口。

对应阅读：Curchod

先用一组固定正交电子态。把两份核函数写成归一化的 $\chi_0(R)$ 、 $\chi_1(R)$ ，电子权重为 $c_0$ 、 $c_1$ 。总态是电子与核的相关叠加。若只看电子，把核坐标积分掉，电子非对角项就带上两份核函数的重叠。

若两份核函数几乎完全分开，重叠接近零，电子约化态的非对角项也接近零。完整电子—核总态仍可按封闭系统的薛定谔方程演化；电子相干的变化，来自电子与核分支之间的相关。

\Psi=c_0\chi_0|0\rangle+c_1\chi_1|1\rangle,\qquad (\rho_e)_{01}=c_0c_1^*\langle\chi_1|\chi_0\rangle

先固定电子基底，再把核分支归一化，重叠才有明确的含义；位置依赖的电子基底还需一并处理其坐标关系。

取两份无相对动量的实高斯，位置概率的标准差均为 $\sigma$ ，中心间距为 $d$ 。把两个指数配方后积分，重叠为 $\exp[-d^2/(8\sigma^2)]$ 。

相隔两个标准差时，重叠约为 $e^{-1/2}\simeq0.607$ ；相隔四个标准差时约为 $e^{-2}\simeq0.135$ 。距离变成两倍，指数绝对值增长到四倍。即使电子占据都保持一半，电子相干仍可显著下降。

若还存在动量差，核相位随位置的变化会进一步减小重叠。判断退相干时，既要看密度是否分开，也要看波函数相位。

\chi_j(R)\propto e^{-(R-R_j)^2/(4\sigma^2)},\qquad \langle\chi_1|\chi_0\rangle=e^{-d^2/(8\sigma^2)}

这里的宽度是位置概率标准差；换成振幅宽度约定会改变公式中二的因子。

给两电子态各一半权重，令核重叠为 $S$ 。电子密度矩阵对角元均为 $1/2$ ，非对角元的模为 $|S|/2$ 。把矩阵平方并求对角和，得到纯度 $\operatorname{Tr}(\rho_e^2)=(1+|S|^2)/2$ 。

核分支相同且相位匹配时 $|S|=1$ ，电子态纯度为一。核分支正交时 $S=0$ ，纯度为一半。这份小计算把“占据相同、相干不同”转成了可检验的数值。

\rho_e=\frac12\begin{pmatrix}1&S\\S^*&1\end{pmatrix}

相位约定可改变非对角元的相位，纯度只依赖核重叠的模。

设许多次准备有不同的相对相位 $\varphi$ 。每一次都可以有清楚条纹，但把所有次数的密度平均后，干涉项乘上 $\langle e^{i\varphi}\rangle$ 。若相位在整圈均匀分布，这个平均为零。

这说明要区分单次相干演化与实验准备的统计混合。增加模拟轨迹可以更准确地估计给定混合，但不会恢复在准备过程中已经平均掉的相位。干涉可见度低，也可能来自两臂强度不等，需要控制比较。

标准 FSSH 的电子振幅可在核分支已经分开后，仍保留一份共同相干叠加。各种退相干修正会按不同规则衰减非活跃分量，它们带来新的时间尺度和算法选择。是否改善结果，要在相同初态与观测量下比较。

2016 年的干涉研究把完整量子演化与独立波包近似并排比较，帮助分辨重合的相干作用。浏览器的标准 FSSH 比较保留明确的算法定义；加入不同的退相干算法后，要逐一比较它们在同初态下的结果。