一个初态，三种核运动的算法

先把三种方法放到同一个问题上

采用 Tully 1990 的简单避免交叉模型。一个核坐标记为 $R$，质量为 $M=2000$。透热矩阵为实对称形式，两条对角元互为相反数，耦合在原点附近最大。参数为 $A=0.01$、$B=1.6$、$C=0.005$、$D=1$，分别与下面表达式配套。

初始电子态取每个核位置上的局部低能本征态。核从左边入射，中心位置为 $R_0=-8$。位置概率的标准差记为 $\sigma_R$，中心动量为 $p_0$；经典方法从同一标量高斯核波包的 Wigner 分布采样位置与动量。这份最小不确定度高斯核波包的 Wigner 函数非负，可以直接作为初始经典分布。

对应阅读：John C. Tully · Tully 1990 original paper · Cigrang et al.

量子波包保留每个位置上的复振幅

固定透热基底中，两个核分量组成列向量 $\boldsymbol\chi(R,t)$。动能对两个分量分别作用，势能矩阵在每个位置混合它们。程序以分步算符交替推进动能和势能；势能的双态矩阵指数可以逐点计算。

对称半步势能、一步动能、半步势能的组合，每步局部误差从时间步的三次方起，总误差通常随时间步平方下降。有限网格还带来空间分辨率与边界误差，必须分别改变。波包分开后，每个分支仍保留自己的相位。

Ehrenfest 用一份电子态给出平均力

每条 Ehrenfest 轨迹有经典位置 $R$、动量 $p$ 和归一化电子向量 $c$。电子按当前核位置的矩阵演化，核受势能导数的电子期望值推动。非对角元的导数也出现在这个力里。

波包在两张面上分开时，单条轨迹仍只受一份平均力。即使增加很多初始样本，也没有给单条轨迹补上量子分支结构。采样更密可以减小抽样误差，平均场近似本身是否合适仍要看观测量。

表面跳跃让轨迹选择一张活跃势面

最少切换表面跳跃（FSSH）沿一张绝热势面计算核力，同时连续演化电子振幅。设活跃态为 $a$，目标态为 $b$，实基底下的导数耦合为 $d_{ab}$。小时间步内，算法用电子概率流确定候选跳跃概率。

接受跳跃后，核动能必须补偿势能变化。一维里就是调整动量大小并保留前进方向。若向上跳所需能量超过现有核动能，这次跳跃被拒绝，称为受阻跳跃。多维体系还要指定沿哪个方向调整动量；本节的一维设置避开了这个额外选择。

对应阅读：John C. Tully

完整算例：上方出口为什么可能关闭

Tully 模型远离交叉处的两条绝热能量约为 $-A$ 和 $+A$。入射低面上的核若要从高面离开，至少要提供能差 $2A=0.02$。取 $p_0=5$、$M=2000$，中心动能为 $p_0^2/(2M)=0.00625$，小于这份能差。

窄动量入射时，高面远端出射会受到能量阈值压制。高斯 分布有高动量尾部，有限时刻还可能有振幅留在交叉区，不能把中心动量的判据直接写成整份波包的严格零概率。比较时要看出口窗内的通道概率与未离开部分。

电子高态占据、活跃高面轨迹比例、高面出射概率是三个不同量。前两个可以在交叉区变化，第三个还要求核真正到达指定出口。把读数的定义写在比较之前，才能判断方法差异来自哪里。