一次避免交叉能转移多少概率

先说清“留在原态”指哪一种态

取时间 $t=0$ 为交叉中心，透热能量差为 $\alpha t$ ，其中 $\alpha>0$ 的单位为能量除以时间。固定耦合为 $\Delta>0$ ，最小绝热能隙为 $2\Delta$ 。去掉共同能量后，双态哈密顿量如下。

从很早时的低能绝热态出发。若完全跟随低能面，穿过交叉后会换到另一种透热电子特征。若保留原来的透热态，穿越后反而落在高能绝热面。公式中的概率指后一个过程。

H(t)=\begin{pmatrix}\alpha t/2&\Delta\\\Delta&-\alpha t/2\end{pmatrix}

斜率指完整的透热能量差的时间斜率；每个对角元的斜率只有它的一半。

令固定透热基底中的两个电子振幅为 $a(t)$ 与 $b(t)$ 。第一行方程给出 $b=(i\hbar\dot a-\alpha t a/2)/\Delta$ 。对第一行再求时间导数，用第二行消去 $\dot b$ ，再用刚才的表达式消去 $b$ ，只剩一个二阶方程。

把时间按耦合与扫过速率缩放后，这个方程属于抛物柱函数方程。其远端连接关系给出下一节的精确指数：入射端只准备一个透热态，出射端读出两个透热态的概率。本课程推导到二阶方程；特殊函数的连接系数采用 Zener 原始解，并用快慢极限检查通道约定。

\hbar^2\ddot a+\left(\Delta^2+\frac{\alpha^2t^2}{4}+\frac{i\hbar\alpha}{2}\right)a=0

这一步没有冻结核动力学以外的新近似；匀速线性扫过与常耦合已在开头指定。

显著混合发生在透热能量差与耦合可比时，穿越时间量级为 $\Delta/\alpha$ 。电子按耦合交换振幅的时间量级为 $\hbar/\Delta$ 。两者之比给出 $\Gamma=\Delta^2/(\hbar\alpha)$ 。

完整求解线性时间扫过的双态方程，得到保持原透热态的 Landau–Zener 概率。时间范围取到交叉前后足够远，耦合保持常数，且只穿越一次。若核以速度 $v$ 穿过透热能量差的空间斜率 $F$ ，则 $\alpha=|vF|$ 。

P_{\mathrm{diab}}=e^{-2\pi\Gamma},\qquad \Gamma=\frac{\Delta^2}{\hbar|vF|}

从入射低绝热态看，这也是出射高绝热态的概率。另一出口的概率为一减此值。

用原子单位，取 $\hbar=1$ 、 $\Delta=0.005$ 、 $F=0.032$ 和 $v=0.01$ 。速度乘斜率为 $0.00032$ ，耦合平方为 $0.000025$ ，故 $\Gamma=0.078125$ 。指数为约负零点四九一，保持透热态的概率约为 $0.612$ 。

速度加倍，指数的绝对值减半，概率约为 $0.782$ 。快穿越更容易保留原透热态。反过来，若保持速度、把耦合加倍，指数的绝对值变为四倍，概率降到约 $0.140$ 。先检查趋势再代数字，能避免把两个通道倒过来。

\exp\!\left[-\frac{2\pi(0.005)^2}{0.01\times0.032}\right]\simeq0.612

这个算例适用于局部线性交叉。有限 Tully 波包需要保留完整势能和动量分布来演化。

真正的入射核波包没有唯一动量。若位置概率的标准差为 $\sigma_R$ ，最小不确定度高斯波包的动量标准差为 $\sigma_p=\hbar/(2\sigma_R)$ 。不同动量成分穿越速度不同，最终概率是整份量子演化的结果。

把中心速度代进公式，可以作窄动量分布的近似检查。把公式对经典动量分布平均，仍没有包含核反射、有限耦合区和多次穿越的干涉。在低能阈值附近，这些区别尤其重要。

耦合趋零时，固定透热基底中的两个通道解耦，电子保持原透热态。扫过越来越慢且始终有非零能隙时，绝热跟随增强。数值程序应在各自适用条件下重现这两个方向。

对 Tully 的有限避免交叉，先查明局部斜率，再明确用入射速度还是交叉处速度。核沿势面运动会变速。若公式与波包结果不同，先比较模型假设，再判断是积分误差还是局部近似失效。