释放电通量弦以后会发生什么

每个能量分量走自己的相位

把有限 Hamilton 矩阵对角化，就得到能量 $\mathcal E_k$ 与对应态 $|k\rangle$ 。对角化只是换一套基底，让 Hamilton 量作用在每根新基矢上时，只乘一个数。先把初态投影到这些态上，再让每份振幅按各自的能量转动，最后加回来。

投影得到的 $\langle k|\psi(0)\rangle$ 就是初态沿第 $k$ 个能量态的振幅。把这个能量态的各分量取复共轭，与初态对应分量相乘后求和，就得到该振幅。

两个能量分量的相位差随时间改变，测量概率也就可能改变。电场变暗不是把一条经典绳子截开；它是同一个量子态在不同通量组态之间分配概率的结果。图中的亮度表示期望值，单次测量则会给出某个允许组态。

|\psi(t)\rangle=\sum_k e^{-i\mathcal E_k t}|k\rangle\langle k|\psi(0)\rangle

在约化 Planck 常数为一时，能量乘时间就是相位角。精确对角化针对保留的有限模型；舍入和对角化残差仍需测量。

四格点、两端外源、电通量上限一时，物理基底恰好只有初始弦和屏蔽中间一段的组态。减去初始弦能量，两个对角能量分别为零和 $\Delta=2m-g^2/2$ ，中间的允许跃迁矩阵元为 $-w$ 。

两态能量差由跃迁耦合与失谐共同决定。取 $m=1/4$ 、 $g^2=1$ 、 $w=1$ ，失谐为零，带一对电荷的概率就是 $\sin^2t$ 。到 $t=\pi/2$ 时完整转移，到 $t=\pi$ 时回到初始弦。这里的完整振荡是该两态截断模型的精确结果。

H_{\mathrm{two}}=\begin{pmatrix}0&-w\\-w&\Delta\end{pmatrix},\qquad \Omega=\sqrt{\Delta^2+4w^2}

失谐是两张固定组态图的能量差，跃迁让它们混合。矩阵两条本征能量之间的间隔是振荡频率。

P_{\mathrm{pair}}(t)=\frac{4w^2}{\Omega^2}\sin^2\left(\frac{\Omega t}{2}\right)

初态为完整弦。远离共振时，转换幅度减小。提高电场截断会加入额外组态，必须重新计算。

两个位置的平均电荷，还不足以说明它们怎样一起变化。先在每种构型里把两处电荷相乘，再按构型概率平均，得到联合平均；从中减去两个单点平均值的乘积，就留下共同涨落。实验台固定观察站点一与倒数第二个站点，六格点链中就是 $1$ 与 $4$ 。

四格点两态例子更容易算。设带一对电荷的概率为 $p$ 。有这对电荷时，中间两点的电荷分别为负一和正一；没有时，两者都是零。单点平均为 $-p$ 、 $p$ ，联合平均为 $-p$ ，连通关联为 $-p(1-p)$ 。共振演化到 $t=\pi/4$ 时，两种构型各占一半，关联为负四分之一。

负号来自两处电荷反向涨落。完整转移后，两处电荷都确定了，共同涨落反而回到零。这个关联描述选定电荷的统计波动；经典概率混合也能给出相同读数。

C_{ab}(t)=\langle Q_aQ_b\rangle-\langle Q_a\rangle\langle Q_b\rangle,\qquad (a,b)=(1,N-2)

联合平均与单点平均都由同一个演化态计算。拖动外源时，这两个观测站点保持固定；改变链长才会改变倒数第二个站点的编号。

六格点或八格点链允许物质对从不同位置产生并继续移动。某段电场下降时，查看相邻电荷怎样改变；若两处变化不符合 Gauss 定律，就不是这个模型的有效轨迹。物质对越过中间链段以后，电场的局域分布往往比平均值更能说明过程。

有限孤立系统保持总能量。电场能减少后，可以进入质量项和跃迁项的期望值；后者包含组态之间的相干贡献，不能只把画面上的粒子数乘质量就当作全部物质能。

曲线回升可能来自少数能级的相干振荡，也可能包含边界传播后的回返。要把某次回升称作有限体积回波，需要改变链长并比较同一局域区域，寻找边界相关的时间变化。两种链长的局域比较可以检验边界在这次回升中起了什么作用。

半填充、总物质电荷为零时，偶数位置的粒子数等于奇数位置的空穴数。我们把偶数位置占据的总和称作相对于交错乘积参考的裸物质对数。它可以是非整数期望值。

初始交错乘积态不是打开跃迁后的真正相互作用真空。即使去掉外源，它也可能产生裸物质对。若要研究外源额外引起了多少变化，必须用同样的初态约定和 Hamilton 参数，再做一次无外源演化；两条曲线之差才是所选基准下的外源增量。

N_{\mathrm{pair}}(t)=\sum_{n\ \mathrm{even}}\langle\hat n_n(t)\rangle,\qquad \Delta N_{\mathrm{pair}}=N_{\mathrm{pair}}^{\mathrm{sources}}-N_{\mathrm{pair}}^{\mathrm{no\ sources}}

第一项是裸对数，第二项是按指定无源淬火定义的差。局部屏蔽还要查看相应链上的电场和电荷分布。

态的归一化必须保持一，总能量保持初值，每个 $\langle\hat G_n^2\rangle$ 保持零。检查平方而不只检查平均残差，是因为正负错误可以在平均值中抵消，平方却会把它们都留下。

这三项通过后，还要做下一章的截断和链长比较。一个不准确的有限模型也可以把自己的能量守恒得很好。守恒测试检查演化是否符合当前 Hamilton 量，收敛测试检查被删掉的自由度是否重要。