从原子占据读出电通量弦

图 1 中有三种不同的长度

先看图 1b。论文用 $L$ 表示原子链的势阱数。对应的规范模型另有 $L+1$ 个规范链位置和 $L+2$ 个物质位置，最外侧两个物质电荷固定。两个外源的间距为 $d=L+1$；断裂前后翻转的内部规范链只有 $\mathcal L=L-1$ 条。把这些数都叫“链长”，后面的斜率就会差一截。

这里每条规范链只有两个电场取值。论文写作 $E_{\ell,\ell+1}=(-1)^\ell S^z_{\ell,\ell+1}$，自旋分量为正半或负半。上一章转子模型中的整数通量则可以取零、一以及更大整数。两个模型都能满足局域 Gauss 定律，链上的状态空间却不同。

论文用 $\tilde t$ 表示物质与规范链共同跃迁的能标，$m$ 表示质量，$h$ 表示背景场偏置。下面把质量和背景场都除以这同一个跃迁能标。

对应阅读：Ying Liu et al. · Sandbox Physics FR04 finite Hamiltonian

图 2 的横轴来自缓慢改变参数

装置用光晶格势阱困住铷原子。附录 A 把相邻势阱的占据组态映射成两个链自旋状态，再由通量差确定物质电荷。一个势阱里的原子数、一个链自旋和一个物质粒子，因而不是同一个计数。

附录 A 将这套映射限定在近共振条件 $U\approx\Delta\gg J$：$U$ 是两个原子占同一势阱的相互作用能，$\Delta$ 是相邻势阱的能量差，$J$ 是原子跃迁幅度。把能量差调近双占据代价，会选出 $|1,1\rangle\leftrightarrow|2,0\rangle$ 这类过程，其余失谐跃迁受到抑制。这里的原子跃迁系数，与下一章论文的电场能系数使用了同一个字母，含义不同。

实验先准备每个势阱各有一个原子的 $|111\ldots1\rangle$。图 2b 先用 75 毫秒把质量从负值提高到接近零，再用 150 毫秒同时改变质量和背景场。随后拍下最终占据。图 2c、d 中每一个背景场设置对应一次制备；这些图展示一组最终状态，不能沿横轴当成同一次释放后的时间电影。

以六势阱为例，图 1 所画的弦组态是 $|202020\rangle$，断弦组态是 $|120201\rangle$。两者都含六个原子。直接把“多出一对规范物质粒子”理解成装置里多了两个铷原子，就会数错；改变的是同一批原子编码的组态。

对应阅读：Ying Liu et al. · Sandbox Physics FR04 finite Hamiltonian

电场与电荷要一起读

先看图 2c 中内部电场怎样随背景场改变，再看同一质量下的图 2d。电场翻转附近出现新的局域正负电荷，才把电场图与屏蔽过程接起来。局部 Gauss 定律给出一个直接检验：相邻电场的差，应当对应中间物质位置的电荷。

图 3 把内部 $L-1$ 条链平均，再取绝对值。这会丢掉方向信息。读者需要回看带符号的局域场，才能分清哪一侧的电场占据主导。实验还筛掉原子总数不守恒或不满足 Gauss 条件的测次，这叫事后选择；图中的均值描述保留下来的测次。

对应阅读：Ying Liu et al. · Sandbox Physics FR04 finite Hamiltonian

图 5 的斜率能先用能量算出来

在较大正质量、忽略跃迁混合的组态比较中，产生一对物质电荷需要 $2m$。把 $\mathcal L$ 条内部链翻到背景场偏爱的方向，每条释放 $h$ 的能量。以完整弦态为能量零点，断弦组态与它的差为下面的式子。

令 $m/\tilde t=4$，只做这个零跃迁能量估计。六势阱有五条内部链可翻转，交叉在 $h/\tilde t=8/5=1.60$；八势阱时是 $8/7\approx1.14$；十势阱时是 $8/9\approx0.889$。较长的弦能从更多链上释放能量，所需背景场就较小。

图 5 比较的是从实验观测中提取的临界场与质量的关系。上面的数是我们重新算出的组态能交叉；有限跃迁会混合组态，实际制备还受有限尺寸和缓变速度影响。要比较实验的拟合斜率，必须继续使用论文规定的观测、筛选和拟合步骤。

对应阅读：Ying Liu et al. · Sandbox Physics FR04 finite Hamiltonian

把映射写成下一次读论文的步骤

先列出装置实际测什么，再列出论文把它换算成什么。接着数清固定端点、内部链和被平均的位置。最后把初态、参数变化方式与观测时间写在同一页，才决定该比较一条动力学曲线，还是一组接近基态的最终构型。

下一步研究可以问：降低质量或加快缓变后，两个组态的能量交叉怎样变成宽的转换区？回答它需要先把论文的交错链、自旋升降方向与物质约定完整变换到同一套符号，再构造保持 Gauss 定律的有限矩阵。第八章选择另一个 Hamilton 量约定明确的四站点实例，走完独立复算。