选掉违规态和惩罚违规态有什么不同

先加入一种明确的错误

如果 Hamilton 量本来保持 Gauss 约束，初态又处在物理空间，给违规态加再高的能量也不会改变轨迹。因为体系本来就到不了那里。要检验能量保护，必须明确写出把振幅送往违规态的过程。

这里增加一个裸物质跃迁：粒子移动，链电场不随之改变。误差强度为 $\epsilon$ 。它会在相邻两个格点制造相反残差。这个过程适合作为受控的错误模型，误差有多大由参数明确给出。

\hat H_{\mathrm{err}}=-\epsilon\sum_n(\hat f_n^\dagger\hat f_{n+1}+\mathrm{h.c.})

与规范保持跃迁相比，这里省去了链的升降算符。它故意违反局域约束，用来测试保护方法。

保留较大的半填充物质与电场乘积空间，在其中使用原来的规范保持 Hamilton 量，再加入误差和 $\lambda\sum_n\hat G_n^2$ 。一对单位残差的平方和为二，比同一组态的无惩罚能量多 $2\lambda$ 。

较大能量差通常压低错误转换，但幅度仍取决于原来的能量差、跃迁强度和观察时间。某些参数还可能把不同能量补偿到近共振。直接画出泄漏随时间和惩罚强度的变化，就能检验这些可能性。

\hat H_\lambda=\hat H+\hat H_{\mathrm{err}}+\lambda\sum_n\hat G_n^2

惩罚系数是能量参数。要在实验中加入这个惩罚，需要找到装置能控制的对应相互作用。

令 $P$ 投影到每个 Gauss 残差均为零的物理子空间。硬性选基使用 $P(\hat H+\hat H_{\mathrm{err}})P$ 。一次裸跃迁的终点不在物理空间中，因此在这个例子里，它的一阶矩阵元被投影删掉。

有限惩罚下，态可以先短暂进入高能违规空间，再回到物理空间。这样的虚跃迁也会改变物理子空间内部的有效演化。于是，泄漏概率很小，并不自动意味着物理电场曲线与硬投影完全重合。

比较时使用同一个初始物理组态、相同电场范围和耦合。硬投影是理想参考；惩罚解包含指定误差的影响。全空间与硬投影的基底维数可以不同，观测必须按同一个定义计算。

约束泄漏是 $1-\langle P\rangle$ ，表示态落在物理空间以外的总概率。平均 Gauss 平方则按残差大小给违规态加权。这两者相关，却不是同一个数。

再选一个物理观测，例如中间链电场，把有限惩罚与硬投影结果相减。它显示保护对实际预测的影响。扫描惩罚时，也保留全 Hamilton 量的能量与归一化检查，避免把数值刚性误认为物理泄漏。

\mathcal L(t)=1-\langle\psi(t)|P|\psi(t)\rangle,\qquad \delta E_n(t)=\langle E_n\rangle_\lambda-\langle E_n\rangle_{P}

泄漏检查态有没有跑出物理空间，电场差检查目标预测偏了多少。这里的参考是相同截断的硬投影模型。

若一个物理态只通过强度 $\epsilon$ 耦合到一个违规态，且总能量差近似为 $2\lambda$ ，就得到与共振例子相同的两态公式。最大泄漏约为 $\epsilon^2/(\lambda^2+\epsilon^2)$ 。当惩罚远大于误差时，它按两者比值的平方下降。

这是解释趋势的孤立通道估计。真正的小链有许多违规态与不同能量差，实验台直接计算全部保留的通道。把估计与实际曲线比较，可以看出哪些条件下单通道图像有用。