FR04-C · 给错误跃迁加上能量代价

保护规范物理子空间

给 Gauss 违规加上大惩罚，就能守住物理子空间吗？ 惩罚越大，违规跃迁需要付出的能量越高，错误跃迁引起的泄漏通常越小。严格选取物理子空间才能精确满足 Gauss 定律；有限惩罚仍会留下违规，也可能改变运动。

把严格选出的物理基底，与带有错误跃迁的完整空间并排比较。逐渐加大违规的能量代价，看错误运动能被压下多少。

物理基底泄漏 $0$

无保护时泄漏 $0.596$

加惩罚后泄漏 $0.00705$

Gauss 残差平方均值 $0.00353$

让错误跃迁付出代价

Gauss 惩罚强度

\lambda

8

错误跃迁强度

\epsilon

0.65

观察时刻

t

1.2

拖动金色保护环，改变惩罚强度。

怎样读图与选取单位

青色链表示正电通量，紫色链表示负电通量。金色与珊瑚色物质球表示正、负电荷；颜色和辉光越强，电荷期望值越大。球体大小只标记站点。白色圆弧显示占据数，金色双环标记固定外源，正负号标出外源电荷。站点从零编号。

$a=\hbar=1$ 规定格点单位。拼装台显示基底构型的取值，演化实验显示量子期望值。

$t=t_{\rm phys}w_{\rm ref}/\hbar,\quad w_{\rm ref}=1$ 用固定的参考跃迁能量定义无量纲时间轴。调节物质跃迁强度会改变 Hamiltonian，不会改变时钟单位。

播放用十六秒走完整个显示时间段；滑块和保存的采样仍采用物理格点时间。

三条分支从同一个物理弦态出发。完整空间分支额外加入漏改链电场的物质跃迁；惩罚分支再给局域 Gauss 残差平方和加上能量代价。泄漏表示落在物理扇区以外的概率。

完整基底含四个半填充站点、三条电场链，通量可取负一、零或一。有限惩罚会抑制违规，也可能改变物理运动。

模型假设

对照采用四站点开放链和有限电场截断。物理基底分支严格投影到 Gauss 扇区；完整空间分支额外加入不改变链电场的物质跃迁错误，受保护分支再加入各点 Gauss 生成元平方和作为能量惩罚。有限惩罚只能抑制泄漏，不能代替严格约束。图中记录均为模型模拟。

确定性模型计算

物理子空间之外的概率

数值诊断与完整记录

\lVert\psi\rVert^2=1

$\Delta\langle E_1\rangle=\langle E_1\rangle_\lambda-\langle E_1\rangle_{\rm phys}$ 比较同一时刻惩罚分支与严格物理基底分支的中央链电场。泄漏概率很小，电场仍可能出现可见偏移。

记录保存固定的 Hamiltonian 参数、初态、数值轨迹采样和守恒诊断。曲线连接有限矩阵的演化采样，全部数据均来自模拟。

继续学习：Gauss 定律、电通量弦与规范保护

先抓重点

核心问题: 给 Gauss 违规加上大惩罚，就能守住物理子空间吗？
一句话直觉: 有限能量惩罚能压低破坏规范的误差；严格选出物理扇区，则直接排除了违规状态。

核心数学模型

明确写出的规范破坏错误

H_{\rm err}=-\epsilon\sum_n(c_n^\dagger c_{n+1}+\mathrm{h.c.})

这项故意省略链算符。它守恒费米子总数，却会改变相邻两个站点的 Gauss 生成元。

违规的能量代价

H_{\lambda}=H+H_{\rm err}+\lambda\sum_nG_n^2

每个违规构型都要增加正的能量。抑制效果取决于错误强度和其他能标；有限惩罚不保证所有可观测量都随惩罚强度单调改善。

离开物理子空间的概率

\mathcal L(t)=1-\langle P_{\rm phys}\rangle_t

下方曲线计算量子态落在任意 Gauss 违规构型中的概率。只看 Gauss 生成元的平均值不够，正负违规可能相互抵消。

常见难点

抑制与投影不同

容易误解有限惩罚只要够大，就与删掉全部违规态完全相同。

正确理解违规态仍在完整基底里，还会通过虚跃迁影响运动。需要随惩罚增大，同时比较泄漏与物理可观测量。

动手实验

01
让错误跃迁发生
选“错误扩散”，在同一观察时刻比较三条链。
你会看到： 物理基底分支始终留在所选扇区。惩罚为零时，另两条分支相同，错误跃迁把概率带进违规构型。
02
逐渐增大惩罚
连续拖动“Gauss 惩罚强度”，再比较“弱保护”和“强保护”。
你会看到： 能量间隔增大后，金色泄漏曲线通常降低。这里的有限参数下，泄漏仍然存在，物理可观测量也可能偏离严格物理基底分支。
03
关掉错误来源
选择“没有跃迁错误”，再改变惩罚强度。
你会看到： 去掉显式破坏规范的项，三条分支都保留初始 Gauss 扇区。Hamiltonian 本身保持规范对称时，无需再靠惩罚保持它。

保护规范物理子空间

物理子空间之外的概率