一条电通量链怎样遵守 Gauss 定律

先沿着链走一遍

在一条只有左右方向的链上，电场不能向旁边散开。先约定向右为正。左侧没有电通量，走过第一个正电荷后，右侧就必须带着一份正通量；经过中间的中性位置，这份通量保持不变；最后遇到等量负电荷，通量回到零。

给格点从左到右编号 $n=0,1,\ldots,N-1$ ，连接格点与右邻居的电通量记为 $E_n$ 。站在格点上，右侧通量减去左侧通量，就是这个位置的总电荷。电通量的正负表示方向，大小表示有多少。

E_n-E_{n-1}=Q_n+q_n^{\mathrm{ext}}

Q_n

是会运动的物质电荷，

q_n^{\mathrm{ext}}

是固定外源。左右两侧也各有一个边界电通量，虽然它们没有画成可操作的内部链。

两端固定源 · 边界电通量为零

q_0^{\mathrm{ext}}=+1

q_3^{\mathrm{ext}}=-1

完整弦

0

1

1

1

0

1

1

屏蔽中间一段

0

1

0

0

1

1

1

原创组态图。圆圈内是物质占据数，链上是向右电通量。奇数格点一留下空穴，偶数格点二多出粒子，中间通量由一变为零。

交错费米子把两种位置交替排列。偶数位置的参考占据数是零，奇数位置是一个；实际占据数减去这个参考值，才是电荷。这个约定让一串交替的空位和占据位成为不带电的参考组态。这里的“参考”指选来计数的基准，尚未求出相互作用体系的真正基态。

实际占据数 $f_n$ 只能取零或一。参考占据数记为 $b_n$ ，则偶数位置填入粒子产生正电荷，奇数位置取走粒子产生负电荷。后者常叫一个空穴，它是相对于参考占据的缺口。

b_n=\frac{1-(-1)^n}{2},\qquad Q_n=f_n-b_n

四个位置的参考组态依次为空、占据、空、占据。物质粒子总数可以不变，同时出现一对正负电荷。

四格点的中性参考与一次相邻跃迁。表中每列均按格点从左到右排列。
组态	占据数	物质电荷
中性参考	$(0,1,0,1)$	$(0,0,0,0)$
中间粒子右移	$(0,0,1,1)$	$(0,-1,+1,0)$

取四个格点，左右边界电通量均为零，最左格点放一个固定正源，最右格点放一个固定负源。物质先处在中性参考组态。从左到右应用同一个加法：外源先让通量变成一，中间两点没有电荷，通量一直是一，到最后一个负源才降为零。三条内部链的电通量是 $(1,1,1)$ 。

现在把中间的粒子向右移，占据数变成 $(0,0,1,1)$ 。格点一留下负空穴，格点二多出正粒子。逐点相加后，电通量变成 $(1,0,1)$ 。中间一段电场消失了：新出现的物质电荷屏蔽了原来的电场。

如果只改占据数，仍把三条电通量都留在原值，整条链总电荷依旧为零，却有两个位置不满足 Gauss 定律。这正是局域检查的用处。

G_n=E_n-E_{n-1}-Q_n-q_n^{\mathrm{ext}}

把两边移到同一侧，得到局部残差

G_n

。每个残差都为零，才是物理允许的组态。

把所有格点的 Gauss 定律加起来，中间电通量会前后抵消，只剩右边界减左边界。固定两端通量以后，整条链的总电荷也被固定了。只在链里塞进一个正电荷而不改变边界或补上负电荷，最后一步就会对不上。

更有用的是反过来算：已知左边界、全部占据数和外源，就能依次求出每一条内部电通量。最后检查右边界，再检查电通量是否超过保留的范围。这个办法会在下一章把一个大状态空间缩成较小的物理子空间。

E_n=E_{-1}+\sum_{j=0}^{n}(Q_j+q_j^{\mathrm{ext}})

一维开边界链中，电通量由左侧累积电荷决定。周期链还需要指定绕环通量，再决定整个电场。