拉长一条通量弦要付多少能量

先把会动的物质固定住

把一个正外源与一个负外源隔开 $d$ 条链，物质处在中性参考组态，两端边界通量为零。Gauss 定律要求外源之间每条链都带单位通量，外面为零。电场能就是把这 $d$ 份相同代价相加。

这条直线有一个很具体的来历：一维电场只有向左和向右两个方向，不能像三维点电荷那样向周围摊开。三维规范理论中的通量管需要另外的动力学解释，不能从这幅一维图直接推出。

V_{\mathrm{string}}(d)=\frac{g^2}{2}\,d

这是单位外源、零边界背景、固定中性物质、格距为一时的电场能。两组态共有的参考质量能已经减去。

电场能

V/g^2

外源间距

d

解析模型参考：物质固定为中性参考组态，外源为单位电荷。每多一条链就多一份相同电场能；各点为计算值。

正质量下，空穴只能先从原本占据的奇数位置产生，正粒子落到偶数位置。在左侧正外源旁放负空穴，在右侧负外源旁放正粒子，它们之间原来的单位电场就能被屏蔽。若因此清空 $\ell$ 条链，省下的电场能是 $g^2\ell/2$ ，新增质量能是 $2m$ 。

把这两个变化相加，就知道哪一个固定组态更便宜。这里比较的是两张确定的组态图；允许跃迁后，基态通常是多张图的叠加，能量交叉也会变成有限系统中的混合。

\Delta E=E_{\mathrm{screened}}-E_{\mathrm{string}}=2m-\frac{g^2}{2}\ell

当

\Delta E<0

时，这个带一对电荷的组态能量较低。具体能屏蔽几条链，必须由电荷位置和 Gauss 定律决定。

继续用两端固定源的四格点链。初始占据为 $(0,1,0,1)$ ，电场为 $(1,1,1)$ 。中间粒子右移后，占据为 $(0,0,1,1)$ ，电场变成 $(1,0,1)$ 。这里只清空中间一条链，因此 $\ell=1$ 。

取 $g^2=1$ 。初始弦的电场能为 $3/2$ ，屏蔽组态为 $1$ 。质量取 $m=1/4$ 时，新增一对电荷花费 $1/2$ ，恰好等于省下的电场能。两张图总能相同。质量更大时造对更贵，质量更小时清空电场更划算。

两端仍各留一段电场，是由交错位置与静态源的摆放决定的。屏蔽不要求画面上所有链都变暗；要看允许的物质电荷究竟能落在哪里。

四格点例题，减去共同参考质量能。
组态	新增质量能	电场能
初始弦	$0$	$3g^2/2$
屏蔽一段	$2m$	$g^2$

即使另一张图更便宜，若跃迁强度为零，初态也永远停在那里。它没有任何过程可以改变占据。打开跃迁后，组态之间才开始交换概率振幅；转换速度取决于矩阵元、能量差以及中间经过的其他组态。

另一种问题是缓慢改变参数，试着让体系一直跟随基态。它与突然放开一条高能弦的过程不同。前者比较最终接近哪个低能态，后者看一个既定初态怎样在同一个 Hamilton 量下演化。下一章选择后者，直接算出随时间变化的电场和物质。

动手检验预测

练习与解释性答案

某个允许组态清空三条单位电通量链。若 $m=1$ 、 $g^2=2$ ，它比初始弦高多少能量？

展开解释

质量代价是 $2m=2$ ，电场能减少 $g^2\ell/2=3$ ，相对能量为 $-1$ 。它比初始弦低一个参考能量单位。计算仍没有给出达到该组态的时间。

一条与外界隔离的开放链的中央电场变小了，能否立即说系统已经到了屏蔽基态？

展开解释

不能。突然释放后的态一般是多个能量本征态的叠加，中央场可以随相位干涉减小、再增大。判断基态需要比较能量、态重叠或明确的制备过程；某一时刻的局部场不足以决定。

来源与计算范围

明确课程使用的零起点交错电荷、开放边界、整数电通量硬截断、外源位置与人为错误跃迁。相邻的论文复算和数值验证文档列出独立检查的有限模型结果。这是本站模型定义与计算记录。

第 2.5.1、2.7 节讨论静态探针和动力学物质；第 4.2.1、4.3.1 节介绍格点链变量与二维交错费米子；第 7.1 节给出一维空间中的静电能。课程另行明确有限 Hamilton 量、编号和硬截断。