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Sandbox Physics
格点规范场与弦断裂

L4 · 第 8 章

独立重算四站点的粒子产生曲线

Sandbox Physics ·

同一条物理曲线，可以从显式自旋矩阵算出，也可以先用 Gauss 定律选出物理组态再演化。这里固定 Martinez 等人 arXiv:1605.04570v1 图 2a 的理想连续曲线，让两条计算路径在每一个时刻相遇。先分清图例中的曲线，随后再比较数值。

先选图 2a 中要复算的那一条线

这篇工作用四个囚禁离子的内部态编码四个物质自旋。图 2a 同时给出理想连续 Hamilton 量演化、离散时间步演化、含实验误差的预测，以及筛选后的测量点。它们回答不同问题。我们选第一条：给定理想 Hamilton 量，裸真空在有限时间后变成什么状态。

固定 N=4N=4、J/w=1J/w=1、m/w=0.5m/w=0.5 和左边界背景场 ϵ0=0\epsilon_0=0。初态是 ∣↑↓↑↓⟩|\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\rangle。横轴 wtwt 是无量纲时间；计算从零到三，每隔 0.050.05 保存一次，共 61 个时刻。

粒子密度随时间上升、再下降，反映这条小链中的相干产生和复合。复算对象是上述固定理想曲线；实验激光门、有限 Trotter 步长和硬件噪声仍按原论文各自的图例读取。

对应阅读：E. A. Martinez et al.

把方法部分的矩阵直接写出来

方法式 (3) 从 Gauss 定律消去链电场，只留下物质自旋。论文的格点编号为 ℓ=1,…,N\ell=1,\ldots,N。先由左侧自旋累积出电场算符，再把它的平方放回能量，就会出现相隔较远的自旋相互作用。它们来自一维电场能。

单自旋的 Pauli 算符 σz\sigma^z 在上下态的取值为正一和负一；σ+\sigma^+ 把下态升为上态，σ−\sigma^- 完成逆过程。独立参考程序把单自旋矩阵做张量积，构造完整的十六维矩阵。每个时刻直接求矩阵指数并作用在初态上。浏览器走另一条路径：枚举六种半填充物理占据，重建电场，再对角化六维矩阵。两者的矩阵构造和演化算法都不同。

L^ℓ=ϵ0+12∑j=1ℓ[σ^jz+(−1)j]\hat L_\ell=\epsilon_0+\frac12\sum_{j=1}^{\ell}\bigl[\hat\sigma_j^z+(-1)^j\bigr]
每个自旋给出该位置的电荷。累积和加上左边界场，得到对应内部链的电场。
H^S=m2∑ℓ=1N(−1)ℓσ^ℓz+w∑ℓ=1N−1(σ^ℓ+σ^ℓ+1−+h.c.)+J∑ℓ=1N−1L^ℓ2\begin{aligned}\hat H_S={}&\frac m2\sum_{\ell=1}^N(-1)^\ell\hat\sigma_\ell^z\\&+w\sum_{\ell=1}^{N-1}(\hat\sigma_\ell^+\hat\sigma_{\ell+1}^-+\mathrm{h.c.})\\&+J\sum_{\ell=1}^{N-1}\hat L_\ell^2\end{aligned}
质量、相邻自旋转换和累积电场能使用同一组算符。这是本次独立参考构造的输入。

对应阅读：E. A. Martinez et al. · Sandbox Physics FR04 original numerical references and reproduction scripts

先换符号，再比较电场

本站从零编号，论文从一编号。令 ℓ=n+1\ell=n+1，并把论文自旋写成本站占据数 fnf_n 的函数。这个变换交换了粒子和空穴的角色，局域电荷和电场也一起反号。电场平方保持不变。

论文电场能是 JLℓ2J L_\ell^2，本站是 g2En2/2g^2E_n^2/2。取 J=1J=1 时，“电场耦合”要设为二。相邻跃迁项的符号还差一个交替的局域相位变换，它不改变占据、电场或返回初态的概率。

σℓz=1−2fn,Lℓ=−En,g2=2J\sigma_\ell^z=1-2f_n,\qquad L_\ell=-E_n,\qquad g^2=2J
比较带符号的局域场时要反号；比较场能时不需要。质量和时间仍按同一个参考跃迁单位换算。
这组输入同时规定了初态、边界和能量单位。
论文输入浏览器输入
N=4N=4链上站点数：4
m/w=0.5m/w=0.5物质质量：0.5，物质跃迁强度：1
J/w=1J/w=1电场耦合：2
ϵ0=0\epsilon_0=0两端边界通量：0，固定外源：关闭
∣↑↓↑↓⟩|\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\rangle(f0,f1,f2,f3)=(0,1,0,1)(f_0,f_1,f_2,f_3)=(0,1,0,1)
四站点中性扇区电场截断：2，物理维数：6

对应阅读：E. A. Martinez et al. · Sandbox Physics FR04 original numerical references and reproduction scripts

用一个时刻检查两种读数

论文的粒子数密度 ν\nu，把粒子和反粒子一起计数后除以格点数。本站主读数给出粒子对期望值。四站点上，一对对应密度二分之一。混合着多种组态的量子态，会给出介于整数之间的对数期望值。

在 wt=1wt=1，独立参考得到 ν=0.4474141728\nu=0.4474141728。乘上站点数再除以二，粒子对期望值为 0.89482834560.8948283456。同一时刻返回裸真空的概率约为 0.26941301760.2694130176。两个数不能互相替代：一个问平均有多少激发，一个问整态返回指定初态的概率。

这些是新生成的确定性数值参考。保存文件同时含各站点电荷、各条链电场和归一化，比较程序逐时检查它们。独立十六维矩阵与浏览器六维矩阵的最大绝对差约为下式所示；这个最大值来自两条计算路径在相同时刻的差。

ν(t)=12N∑ℓ=1N⟨(−1)ℓσ^ℓz+1⟩=2⟨Npair(t)⟩N\nu(t)=\frac{1}{2N}\sum_{\ell=1}^N\left\langle(-1)^\ell\hat\sigma_\ell^z+1\right\rangle=\frac{2\langle N_{\mathrm{pair}}(t)\rangle}{N}
半填充条件让正负激发数相等，因此总激发数等于对数的两倍。
Pvac(t)=∣⟨vac∣e−iH^St∣vac⟩∣2P_{\mathrm{vac}}(t)=|\langle\mathrm{vac}|e^{-i\hat H_St}|\mathrm{vac}\rangle|^2
这是同一初态与 Hamilton 量下的真空持续概率。论文图 3 使用这个观测；这里没有额外复算图 3 的整组参数扫描。
max⁡t, O∣O16(t)−O6(t)∣≃2.75×10−15\max_{t,\,O}|O_{16}(t)-O_6(t)|\simeq2.75\times10^{-15}
最大值遍历固定的 61 个时刻和保存的密度、真空概率、局域电场与电荷。误差数值对应随参考文件记录的 Python、NumPy 和 SciPy 环境。

对应阅读：Sandbox Physics FR04 original numerical references and reproduction scripts

重新运行时，保留哪些证据

参考文件把浏览器轨迹和独立矩阵结果分开保存。复算脚本记录模型版本、参数、算法与依赖版本。整个计算没有随机抽样，随机种子为空；数值比较不含统计误差条。读者可以先重算某一个时刻，再运行全部时刻的比较，最后检查守恒量随时间的偏差。

误差也要分开处理。矩阵对角化残差与归一化漂移检查数值运算；改变电场截断检查删掉的链状态；改变站点数检查边界回返。实验脉冲误差和筛选偏差属于装置比较，需要实验记录才能估计。把这些差异加成一个“总误差百分比”，会混淆不同问题。

四站点无外源扇区在这组初态与 Hamilton 量下只需单位以内的电通量。把截断从一改成二，轨迹会相同。单位通量的构型确实会被占据，但两种截断都已保留全部六个中性构型，没有删掉这个扇区内的允许跃迁。较长的外源弦仍须另外检查截断与链长。

下一次复算可以沿同一条次序：固定版本和目标曲线，写出初态与边界，变换符号，定义观测，再用独立矩阵比较原始数值。做到这些以后，增加时间步、加入装置误差或转向张量网络，才有一个清楚的参考可以追踪变化。

对应阅读：Sandbox Physics FR04 original numerical references and reproduction scripts · ITensorMPS.jl

动手检验预测

重算“四离子模型参考”

  1. 选择“四离子模型参考”，确认高级区显示四站点、电场截断二，并关闭固定外源。物质质量为 0.5，电场耦合为 2，物质跃迁强度为 1。
  2. 暂停演化，把“观察时刻”调到一。用裸粒子对期望值乘二再除以四，和本章的粒子密度比较。展开数值诊断，检查归一化和 Gauss 违规量。
  3. 保存模型记录，把时间为一的局域电场反号后，与独立参考的 electricPaper 数组比较。再把截断改成一，解释这次为什么看不到曲线变化。

练习与解释性答案

  1. 独立参考在 wt=2wt=2 给出 ν≈0.1742642797\nu\approx0.1742642797。浏览器应显示多少粒子对？

    展开解释

    用四个站点换算：⟨Npair⟩=Nν/2≈0.3485285595\langle N_{\mathrm{pair}}\rangle=N\nu/2\approx0.3485285595。这是期望值，不要求每次测量都出现分数对粒子。

  2. 若粒子密度一致，但每条局域电场都刚好反号，应该先改哪个地方？

    展开解释

    先检查两套电荷与电场的符号约定。本章的变换本来就要求局域场反号。只有在变换到同一套约定后仍有差别，才应继续查模型或算法。

  3. 两种算法的数值差很小，是否已经给出了离子实验的精度？

    展开解释

    还没有。它检查同一个理想有限 Hamilton 量的求解。离子实验另有离散门序列、噪声、初态制备和筛选效应，必须分别与相应实验记录比较。

来源与计算范围

  1. E. A. Martinez et al., Real-time dynamics of lattice gauge theories with a few-qubit quantum computer, Nature 534, 516–519 (2016); arXiv:1605.04570v1 (15 May 2016)

    方法式 (3)、图 2a 和正文粒子密度定义固定四站点理想连续演化：电场能与跃迁强度之比为一，质量与跃迁强度之比为二分之一，边界场为零，初态为裸自旋真空。真空持续概率按正文定义计算，图 3 另有使用，但未复算其参数扫描。DOI：10.1038/nature18318。arXiv 页面标示永久非独占许可；本站不再分发原图、作者代码或实验数据。

  2. Sandbox Physics FR04 original numerical references and reproduction scripts

    benchmarks-browser.json 与 benchmarks-independent.json 分别保存两条独立路径算出的原始观测，benchmarks-summary.json 保存差异、数值环境、截断与有限尺寸检查。scripts/frontier/fr04/reproduce-benchmarks.mjs 和 independent-reference.py 可重新生成这些确定性模型记录，文件不含实验测量数据。

  3. ITensorMPS.jl, DMRG and MPS Time Evolution official tutorials

    DMRG 教程说明基态优化、键维数与丢弃权重；其中链接的 MPS Time Evolution 教程处理实时间演化。它们是小链精确对角化之后的方法入口，本课程没有据此声称完成大系统张量网络计算。

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