把允许的组态连成一个量子模型

先规定这个世界有多大

本课程使用一维开边界的 $\mathrm{U}(1)$ 模型，格点从零开始编号。物质占据数为零或一，链电通量取整数。浏览器保留四、六或八个格点，并把每条链限制在 $-E_{\max},\ldots,E_{\max}$，其中上限取一或二。两端电通量固定为零，外源固定在选定位置。

取格距和约化 Planck 常数为一。能量用参考跃迁强度计量，时间用它的倒数计量。下面的 $w$ 是跃迁强度，$m$ 是交错质量，$g^2$ 决定电场能的代价。它们是这个格点模型的参数；要换成实验单位，还需要另做装置映射。

对应阅读：David Tong · Sandbox Physics FR04 finite Hamiltonian

三种能量怎样写在同一个式子里

Hamilton 量是一个矩阵。它的对角元素给出各个组态的能量，非对角元素让不同组态的振幅彼此转换。质量项与电场项不改变组态，只给出它的能量；跃迁项把一份占据从相邻位置移到另一处。

费米子算符 $\hat f_n$ 取走格点上的粒子，$\hat f_n^\dagger$ 放入粒子；占据算符是 $\hat n_n=\hat f_n^\dagger\hat f_n$。链算符 $\hat U_n$ 把该链电通量提高一。厄米共轭补上逆过程，让 Hamilton 量具有实能量和可逆的时间演化。

为什么向左跳要把通量提高一

设右侧粒子向左跳。左格点的占据数增加一，右格点减少一。连接它们的电通量同时增加一后，左格点的通量差与电荷一起增加，右格点的通量差与电荷一起减少。两个局部等式继续成立。

逆过程是向右跳，并把电通量降低一。若把链算符省掉，就会在这两个位置制造 Gauss 残差。模型是否保持局域约束，取决于跃迁本身怎样写。

在保留电场的边缘，升降操作若要越界，就把那次跃迁删去。这是硬截断。有限矩阵仍可保持 Gauss 约束，但边缘的链算符已不再满足无限转子的全部代数，因此必须另外检查截断收敛。

不用先存下所有电场

四个半填充格点只需从六种占据组合开始。给定两端外源后，逐个用 Gauss 定律求链电场。最大通量为一时，只剩 $(0,1,0,1)$ 与 $(0,0,1,1)$ 两个组态；其余四种都会在某条链上达到二。最大通量提高到二后，六种组合全部保留。

每个保留组态是一根基矢。量子态是这些基矢的叠加：给每个组态一个复数振幅。计算各个振幅绝对值的平方，再加起来，必须等于一。电场的期望值则是各组态电场按这些概率加权的平均。

这种选基把不满足约束的组态从一开始排除，叫作物理子空间。它节省计算，也让局域规律精确成立。第六章将把它与保留额外组态、再用能量惩罚压制错误的方法比较。

模型能回答到哪一步

这是一维 Abelian 规范场与交错费米子的有限链，可以研究约束、屏蔽和弦释放。三维 QCD 使用非 Abelian 色规范场，有不同的空间结构和相互作用。把这里的屏蔽称为一维模型中的弦断裂，就准确说出了计算的对象。

有限链没有连续空间的全部短距离模式。电场截断也会删掉真实的可达组态。先扩大电场范围，再比较链长，就能检查某条局域电场曲线对这些删减有多敏感。