跳到主要内容
Sandbox Physics
涨落电动力学

L1 · 第 1 章

热的表面为什么发光，好镜子为什么发光弱

Sandbox Physics ·

室温下的物体主要在红外发光，波长在 10 µm 上下。每个频率上发多少光，取决于两件事：电磁场的一个热模式里有多少能量，表面肯不肯把这个模式放出来。黑表面来者不拒，照单全收；在某个频率上反射很强的表面，在这个频率上发光就弱，因为发射和吸收是同一个透射过程，只是方向相反。

一个模式有多少能量，单位体积有多少模式

设想一个四壁温度为 TT 的空腔。腔里的电磁场可以拆成许多驻波，每个驻波都是一个角频率为 ω\omega 的谐振子。量子力学给出它在基态之上的平均能量 Θ(ω,T)\Theta(\omega,T)。频率低、ℏω≪kBT\hbar\omega\ll k_BT 时，Θ\Theta 就是经典的 kBTk_BT；频率高、ℏω≫kBT\hbar\omega\gg k_BT 时，它按指数掉到几乎为零。

再数模式。两种偏振都算上，单位体积里角频率落在 ω\omega 到 ω+dω\omega+d\omega 之间的模式有 ω2dω/(π2c3)\omega^2d\omega/(\pi^2c^3) 个。两者相乘，就是腔内单位体积、单位角频率的能量 u0u_0。

后面每一章都沿用这个分法：一个模式的平均能量只看温度和频率，模式有多少、能不能跑出来，则由材料和几何决定。

Θ(ω,T)=ℏωeℏω/kBT−1,u0(ω,T)=Θ(ω,T) ω2π2c3\Theta(\omega,T)=\frac{\hbar\omega}{e^{\hbar\omega/k_BT}-1},\qquad u_0(\omega,T)=\Theta(\omega,T)\,\frac{\omega^{2}}{\pi^{2}c^{3}}
Shchegrov 等人式 (1)，Joulain 等人式 (47)。u0u_0 的单位是 J s m−3\mathrm{J\,s\,m^{-3}}，即每单位角频率的能量密度。

来源：A. V. Shchegrov · K. Joulain

对频率积分，得到 Stefan–Boltzmann 定律

令 x=ℏω/kBTx=\hbar\omega/k_BT，积分化成 ∫0∞x3/(ex−1) dx=π4/15\int_0^\infty x^3/(e^x-1)\,dx=\pi^4/15。腔内总能量密度正比于 T4T^4。

黑表面向半个空间发射。穿过一个平面的能流，等于能量密度乘光速，再乘法向速度分量在离开表面那一半方向上的平均值 1/41/4。于是黑表面的辐射通量是 σT4\sigma T^4。

谱的峰值在哪里，要看用什么变量。按单位角频率算，峰在 ℏω≈2.82 kBT\hbar\omega\approx2.82\,k_BT，300 K 时是 1.11×1014 rad s−11.11\times10^{14}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}；按单位波长算，峰在 10 µm 附近，也就是 Wien 定律。两个峰对不上，是因为两条谱是对不同变量的密度。

∫0∞u0 dω=π2kB415ℏ3c3 T4,qblack=c4∫0∞u0 dω=σT4,σ=π2kB460ℏ3c2\int_0^{\infty}u_0\,d\omega=\frac{\pi^{2}k_B^{4}}{15\hbar^{3}c^{3}}\,T^{4},\qquad q_{\mathrm{black}}=\frac{c}{4}\int_0^{\infty}u_0\,d\omega=\sigma T^{4},\qquad \sigma=\frac{\pi^{2}k_B^{4}}{60\hbar^{3}c^{2}}
用 2019 年起精确定义的国际单位制常量，σ=5.670374419×10−8 W m−2 K−4\sigma=5.670374419\times10^{-8}\,\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}，与 NIST 的列值十位全同。课程的基准脚本还直接对 u0u_0 做数值积分，得到同一个数。

来源：NIST Reference on Constants · K. Joulain

Kirchhoff 定律：发射就是反过来的吸收

真实表面会把一部分波反射回去。Joulain 等人算出半空间向外发射的能量密度时，发现每个方向上都带着一个因子：两种偏振透射率之和的一半。材料内部本来就有黑体辐射，热发射就是这些辐射穿过界面透射出来。

把同一个透射过程反过来走，就是外面的光透进材料、被吸收。两个方向的透射率相等，所以在每个频率、每个角度、每种偏振上，发射率都等于吸收率。这就是 Kirchhoff 定律，在这里它是透射可逆性的直接结果。

碳化硅（SiC）是本课程的主角。它的介电函数来自晶格振动：横光学声子频率 ωT\omega_T 和纵光学声子频率 ωL\omega_L 之间，ε\varepsilon 的实部是负的，晶格逆着电场响应，表面几乎把光全部反射掉。这一段叫剩余射线带。

e(ω,θ)=12[(1−∣rs∣2)+(1−∣rp∣2)]e(\omega,\theta)=\tfrac{1}{2}\left[\left(1-|r_s|^{2}\right)+\left(1-|r_p|^{2}\right)\right]
Joulain 等人式 (46) 中的发射率。rsr_s、rpr_p 是角度为 θ\theta 时两种偏振的 Fresnel 反射振幅；黑表面 r=0r=0，e=1e=1。
ε(ω)=ε∞ ωL2−ω2−iγωωT2−ω2−iγω\varepsilon(\omega)=\varepsilon_\infty\,\frac{\omega_L^{2}-\omega^{2}-i\gamma\omega}{\omega_T^{2}-\omega^{2}-i\gamma\omega}
Shchegrov 等人第 1549 页给出的 SiC 介电函数，与 Joulain 等人式 (22) 相同：ε∞=6.7\varepsilon_\infty=6.7，ωL=182.7\omega_L=182.7，ωT=149.5\omega_T=149.5，γ=0.9\gamma=0.9，频率单位为 1012 rad s−110^{12}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}。

来源：K. Joulain · A. V. Shchegrov

完整例题：两块黑板和碳化硅的一个低谷

题目。两块黑板相距 1 cm，温度分别是 400 K 和 300 K，求净热流。再求 SiC 在 ω=166\omega=166 和 ω=200\omega=200（单位 1012 rad s−110^{12}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}）处的法向发射率，并说明 300 K 时 SiC 在 166 处发光有黑表面几成。

建模。黑板吸收照到它上面的全部辐射，所以每块板发出 σT4\sigma T^4，又全部收下对方发来的。1 cm 远大于 10 µm 的热波长，间隙大小不影响结果。净热流 q=σ(T14−T24)q=\sigma(T_1^4-T_2^4)。

计算。σT14=1452 W m−2\sigma T_1^4=1452\,\mathrm{W\,m^{-2}}，σT24=459.3 W m−2\sigma T_2^4=459.3\,\mathrm{W\,m^{-2}}，相减得 q=992 W m−2q=992\,\mathrm{W\,m^{-2}}。如果用线性近似 4σT3ΔT4\sigma T^3\Delta T，取 T=300 KT=300\,\mathrm{K} 得到 6.12×100=612 W m−26.12\times100=612\,\mathrm{W\,m^{-2}}，少了 38%：温差 100 K 时 T4T^4 的弯曲已经不能忽略。

再看 SiC。166 处 ε=−7.48+0.41i\varepsilon=-7.48+0.41i，代入法向公式得 ∣r∣2=0.966|r|^2=0.966，发射率只有 0.034。200 处 ε=2.51+0.04i\varepsilon=2.51+0.04i，发射率 0.949。也就是说，在 166 处 SiC 发出的光只有黑表面的 3.4%，在 200 处有 95%。远场光谱在 150 到 180 之间出现一个宽低谷，正是 Shchegrov 等人图 1(a) 里的那一段。

e⊥(ω)=1−∣1−ε(ω)1+ε(ω)∣2e_\perp(\omega)=1-\left|\frac{1-\sqrt{\varepsilon(\omega)}}{1+\sqrt{\varepsilon(\omega)}}\right|^{2}
法向入射时两种偏振相同。取 ε\sqrt{\varepsilon} 虚部为正的那一支。

来源：NIST Reference on Constants · A. V. Shchegrov

到实验里试一试

在远处看碳化硅的发射低谷

  1. 先预测：探针离 300 K 的 SiC 表面 1 mm 时，它测到的光谱会在哪一段低于虚线画的黑表面参考？
  2. 选“远场光谱”预设。对比实线和黑表面参考在 150 到 180（单位 1012 rad s−110^{12}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}）之间的差别，再读出“最强频率”。
  3. 把样品温度调到 600 K。低谷的位置变了吗？用介电函数解释：在这个模型里，它和温度无关。

移动 Planck 峰

  1. 先预测：腔体温度从 300 K 升到 600 K，光谱峰值的波长变成原来的几倍？
  2. 在黑体辐射实验里依次设两个温度，读出峰值波长；再把灰体发射率设为 0.5。
  3. 说明灰体为什么只是整体缩小、峰的位置不动，而 SiC 会在一段频率里挖出一个洞。

练习与解答

  1. 两块黑板温度为 310 K 和 300 K。分别用精确公式和线性近似求净热流。

    展开解答

    精确值 σ(3104−3004)=5.670×10−8×1.135×109=64.4 W m−2\sigma(310^4-300^4)=5.670\times10^{-8}\times1.135\times10^{9}=64.4\,\mathrm{W\,m^{-2}}。线性近似取 300 K 时 4σT3ΔT=61.2 W m−24\sigma T^3\Delta T=61.2\,\mathrm{W\,m^{-2}}，取两板平均温度 305 K 时为 64.4 W m−264.4\,\mathrm{W\,m^{-2}}。温差小、又用平均温度时，线性近似几乎精确。

  2. 一个灰体在所有频率上的发射率都是 0.5。它的光谱和总辐射与同温黑体相比如何？SiC 为什么不是灰体？

    展开解答

    灰体的光谱在每个频率上都减半，峰的位置不变，总辐射是 σT4/2\sigma T^4/2。SiC 的发射率随频率剧烈变化：200 处为 0.95，166 处只有 0.03（单位 1012 rad s−110^{12}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}），所以它的光谱在剩余射线带里缺一块，形状也变了。

  3. SiC 的近场谱线在 ω=178.7×1012 rad s−1\omega=178.7\times10^{12}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}。求 300 K 时的 ℏω/kBT\hbar\omega/k_BT 和以 kBTk_BT 为单位的 Θ\Theta。温度升到 600 K，Θ\Theta 变成几倍？

    展开解答

    300 K 时 ℏω/kBT=4.55\hbar\omega/k_BT=4.55，Θ/kBT=4.55/(e4.55−1)=0.0486\Theta/k_BT=4.55/(e^{4.55}-1)=0.0486。600 K 时 ℏω/kBT=2.275\hbar\omega/k_BT=2.275，Θ\Theta 是 300 K 时的 10.7 倍。温度只翻一倍，这条线的模式能量却涨了十倍，因为它处在 Planck 谱指数下降的一侧。

  4. 一个 300 K 的表面放在 300 K 的空腔里。如果它在某个频率上的发射率大于吸收率，会发生什么？Joulain 等人的推导比这个热力学论证多给了什么？

    展开解答

    它在这个频率上发出的比吸收的多，会自发变冷，空腔变热，不用做功就造出温差，违反热力学第二定律，所以两者必须相等。热力学只要求总体平衡；Joulain 等人的推导把发射率写成透射率，而透射在交换光源和探测器后不变，所以等式在每个频率、每个角度、每种偏振上分别成立。

来源与复算范围

  1. A. V. Shchegrov, K. Joulain, R. Carminati and J.-J. Greffet, Near-field spectral effects due to electromagnetic surface excitations, Physical Review Letters 85, 1548–1551 (2000), HAL hal-01624761v1

    HAL 存档中已发表信件的全文。式 (1)：Planck 谱等于模式能量乘模式密度。式 (2) 至 (5)：由涨落–耗散定理给出热电流，再求发射电场的能量密度。式 (6)：表面波色散关系。式 (7)、(8)：近场光谱等于模式能量乘局域模式密度，后者按高度的负三次方增长。第 1549 页给出 SiC 参数。图 1：300 K 的 SiC 上方 1000、2、0.1 µm 处的光谱，谱线位于 178.7（单位 10 的 12 次方 rad/s）。图 3：166 与 210（同一单位）处随高度的衰减。我们复算了谱线位置、高度规律和 166 处的衰减，没有数字化图中曲线。

  2. K. Joulain, J.-P. Mulet, F. Marquier, R. Carminati and J.-J. Greffet, Surface electromagnetic waves thermally excited: radiative heat transfer, coherence properties and Casimir forces revisited in the near field, arXiv:physics/0504068v2; Surface Science Reports 57, 59–112 (2005)

    2005 年 4 月 24 日 v2。第 2 节：表面波、Drude 介电函数（式 21）与 SiC 振子模型（式 22）。第 3.2 节：涨落–耗散定理与振子平均能量（式 25 至 30）。第 4.1、4.2 节：发射能量密度（式 44 至 48），发射率等于两种偏振透射系数之和的一半，以及它与 Kirchhoff 定律的关系；图 6 是 SiC 上方 100 µm、1 µm、100 nm 的光谱。第 7 节：两个半空间之间的热流（式 89 至 93）、随间隙平方反比增长的规律，以及转引自另一篇论文的图 17、18。第 8 节：由同一涨落场得到的 Casimir 力。式 45 印出的倏逝项多了一个因子 2，我们按式 48 定下系数。我们读到的文本版本里式 93 的系数排版残缺，所以只引用它与间隙平方成反比这一点。

  3. NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty: speed of light in vacuum, reduced Planck constant, Boltzmann constant and Stefan–Boltzmann constant

    这四个常量的数值页面。2019 年起，光速、Planck 常量和 Boltzmann 常量在国际单位制中都是精确值，由它们算出的 Stefan–Boltzmann 常量与 NIST 列出的 5.670374419 十位数字全部一致。

反馈这个页面有错误、看不明白，或者缺了什么？告诉我们
反馈类型

提交时会附带本页地址、Lab ID、网站语言和设备类型。请不要填写个人信息。反馈最多保存 12 个月。隐私政策