两块平板隔着真空传热，按通道一个个数

每个通道最多传一份

两块半无限大平板，温度 $T_1$ 和 $T_2$，中间是宽 $d$ 的真空。两侧都按第三章的方式发出热辐射，也都吸收对方的辐射。

把场按频率 $\omega$、面内波矢 $\beta$ 和偏振拆开。平板在面内是平移不变的，每一组 $(\omega,\beta)$ 再加一种偏振，各自独立，可以看成一条通道。板 1 送进通道的能量是 $\Theta(\omega,T_1)$，板 2 送回来的是 $\Theta(\omega,T_2)$，通道的能量透射率 $\tau$ 决定有多少过得去。

净热流就是对所有通道求和：两侧模式能量之差，乘透射率，再乘单位面积的通道数。这种写法叫 Polder–Van Hove 形式。Joulain 等人式 (90) 和 (91) 把同一个结果拆成传播波和倏逝波两项。

来源：K. Joulain

传播通道与隧穿通道的透射率

面内波矢小于 $k_0$ 的通道是传播波。波离开板 1，在两板之间来回反射，形成 Fabry–Perot 式的干涉。分子是两个界面各自的透射，分母记下多次反射。

面内波矢大于 $k_0$ 的通道是倏逝波。单独一个界面上，它不带走能量；对面有第二个界面时，两侧的衰减场叠在一起，能量能隧穿过去。透射率正比于 $e^{-2\kappa d}$，间隙越小越大。分子里是两个反射系数的虚部，第二章说过，在表面波附近这个虚部很大。

两种通道的透射率都不超过 1。课程基准脚本在多组频率、波矢和间隙下抽查，最大值是 0.999999。一个通道最多把两侧模式能量之差全部送过去，不会更多。

来源：K. Joulain

黑板极限：数通道数得到 Stefan–Boltzmann 定律

两块黑板不反射，$r=0$。传播通道透射率为 1，倏逝通道为 0。两种偏振都算上，$\Phi=k_0^2/(2\pi)$：单位面积上的通道数和频率的平方成正比。

代入热流公式，被积函数正好是 $(c/4)\,[u_0(T_1)-u_0(T_2)]$，积分得到 $\sigma(T_1^4-T_2^4)$。第一章用能量密度乘光速再取平均得到的结果，在这里变成了数通道。

课程模型在 10 nm、1 µm 和 100 µm 三个间隙上检验了这个极限，相对误差都不超过 $2\times10^{-10}$，与间隙无关。黑板之间没有近场增强，因为黑表面根本不存储倏逝场。

真实材料在远场是灰的。对频率间隔内的干涉条纹取平均，传播项回到不考虑干涉的经典灰板公式。基准脚本在 100 µm 间隙上比较了二者，三个频率处相差 1% 以内。

来源：K. Joulain · NIST Reference on Constants

完整例题：1 µm 间隙的 SiC 平板

题目。两块 SiC 平板，400 K 和 300 K，间隙 1 µm。模型给出净热流 $2.18\times10^{3}\,\mathrm{W\,m^{-2}}$，其中 70.6% 由隧穿通道携带。与同温度的两块黑板相比是几倍？间隙放大到 20 µm 时又如何？

建模。黑板的结果与间隙无关，就是第一章例题的 $992\,\mathrm{W\,m^{-2}}$。SiC 的结果来自对通道求和的完整模型。

计算。1 µm 时，$2178/992.3=2.19$：已经超过黑体极限一倍多，而这时间隙只比热波长小一个数量级。20 µm 时模型给出 $566\,\mathrm{W\,m^{-2}}$，是黑板的 0.57 倍，隧穿只占 1.3%。

解释。20 µm 时几乎只剩传播通道，SiC 在剩余射线带里几乎全反射，发射率低，所以比黑板少。1 µm 时，正是这段高反射频带里的表面波打开了大量隧穿通道。Kirchhoff 定律在远场惩罚 SiC 的东西，到了近场反而成了它的优势。

检验。把冷热板温度都设为 300 K，热流严格为零；把 SiC 与金对调并交换温度，热流反号，残差为零；两板互换时每个通道的透射率不变。这三条是细致平衡和互易性在模型里的直接体现。

来源：K. Joulain