离热表面 100 nm，宽谱为什么缩成一条线

热电流：吸收越强，涨落越强

材料里的电荷在不停地热运动，产生涨落的电流。涨落–耗散定理说，这些电流的关联强度由同一个量决定：介电函数的虚部 $\operatorname{Im}\varepsilon$ ，也就是材料吸收电磁能的本领。吸收越强的频率，电流涨落越强。

有了电流，就能用 Green 函数算出它在真空一侧产生的场，再对所有源点和所有面内波矢求和。Shchegrov 等人把结果写成第一章那样的乘积：一个模式的平均能量 $\Theta$ ，乘以探针所在位置的局域模式密度。区别在于，这里的模式密度随高度变化。

这句话把整章串起来：光谱的形状随高度改变，是因为能到达探针的模式随高度改变，而不是每个模式里的能量变了。

\left\langle j_\alpha(\mathbf r,\omega)\,j_\beta^{*}(\mathbf r',\omega')\right\rangle\;\propto\;\omega\,\varepsilon_0\operatorname{Im}\varepsilon(\omega)\,\Theta(\omega,T)\,\delta_{\alpha\beta}\,\delta(\mathbf r-\mathbf r')\,\delta(\omega-\omega')

Joulain 等人式 (25) 至 (30) 的结构。电流只在材料内部，不同位置、不同方向、不同频率之间互不关联；比例系数里的

\Theta

与第一章相同。

来源：K. Joulain · A. V. Shchegrov

传播部分与倏逝部分

结果分成两项。第一项是传播波， $P(\omega)$ 是对角度加权平均后的发射率，与高度无关。黑表面 $P=1$ ，能量密度等于腔内值 $u_0$ 的一半：只有半空间在发射，另一半是 0 K 的真空。

第二项是倏逝波。每个面内波矢 $\beta>k_0$ 的贡献由反射系数的虚部给出，再乘上从表面到探针的衰减 $e^{-2\kappa z}$ 。探针越近，能到达它的 $\beta$ 越大，参与的模式越多。

这里有一个读文献时要留心的地方。Joulain 等人式 (45) 印出的倏逝项比下文推出的极限多一个因子 2。我们按同一篇文章的式 (48) 定下系数：下一节的近距离极限正好回到式 (48)，而黑表面极限仍是 $u_0/2$ 。

u(z,\omega)=\frac{\Theta\,\omega^{2}}{2\pi^{2}c^{3}}\left[P(\omega)+\int_{k_0}^{\infty}\frac{\beta^{3}\,d\beta}{k_0^{3}\,\kappa}\left(\operatorname{Im}r_s+\operatorname{Im}r_p\right)e^{-2\kappa z}\right]

课程模型使用的形式，单位

\mathrm{J\,s\,m^{-3}}

。

P

是 Joulain 等人式 (46) 的发射率对立体角的平均；倏逝项的系数由式 (48) 确定。

来源：K. Joulain

离得很近：能量密度按高度的负三次方增长

当 $k_0z\ll1$ ，积分主要来自 $\beta\gg k_0$ 的区域。这时 $\kappa\approx\beta$ ，s 偏振的虚部趋于零，p 偏振的虚部趋于第二章的准静态值 $2\operatorname{Im}\varepsilon/|\varepsilon+1|^2$ ，与 $\beta$ 无关，可以提到积分外面。

剩下的积分是 $\int\beta^2e^{-2\beta z}d\beta=1/(4z^3)$ 。代回去，就是 Joulain 等人的式 (48)：能量密度与 $z^{-3}$ 成正比，并在 $|\varepsilon+1|$ 最小的频率出现尖峰。Shchegrov 等人式 (8) 给出同样的高度规律和同样的 $\operatorname{Im}\varepsilon/|\varepsilon+1|^2$ 。

这条峰有多窄，由阻尼决定。把 SiC 阻尼加倍，100 nm 处峰高减半，整条光谱积分出的能量却只变 2.5%：线变宽，峰变矮，总量由谱线附近满足 $\varepsilon\approx-1$ 的模式数决定。

金这样的金属也满足这个极限，但它的平坦渐近频率在近紫外，那里的平均模式能量几乎为零，所以近场光谱里看不到谱线。

\int_0^{\infty}\beta^{2}e^{-2\beta z}\,d\beta=\frac{1}{4z^{3}}

对面内波矢积分时用到的唯一一个积分。

u(z,\omega)\;\xrightarrow{\;k_0z\ll1\;}\;\frac{\omega^{2}\operatorname{Im}\varepsilon}{4\pi^{2}c^{3}\,|\varepsilon+1|^{2}\,(k_0z)^{3}}\,\Theta(\omega,T),\qquad \frac{u}{u_0}=\frac{\operatorname{Im}\varepsilon}{4\,|\varepsilon+1|^{2}\,(k_0z)^{3}}

Joulain 等人式 (48)。右式是它与腔内能量密度

u_0

之比，便于直接代数。

来源：K. Joulain · A. V. Shchegrov

完整例题：100 nm 处谱线有多高

题目。探针在 300 K 的 SiC 上方 100 nm。求 $\omega=178.7\times10^{12}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ 处的能量密度与 $u_0$ 之比，判断近距离极限在这里是否可靠，并估算高度降到 10 nm 后变成几倍。

建模。用近距离极限的比值形式，只需要 $\varepsilon$ 和 $k_0z$ 。

计算。第二章已算出 $\operatorname{Im}\varepsilon/|\varepsilon+1|^2=7.697$ 。 $k_0=178.7\times10^{12}/(2.998\times10^{8})=5.961\times10^{5}\,\mathrm{m^{-1}}$ ， $k_0z=0.05961$ ， $(k_0z)^3=2.118\times10^{-4}$ 。于是 $u/u_0=7.697/(4\times2.118\times10^{-4})=9.09\times10^{3}$ 。

验算。完整模型给出 $9.16\times10^{3}$ ，比极限高 0.8%。在 10 nm 处二者只差 0.02%。而在远离谱线的 166 处，100 nm 时完整值比极限高 14%；在没有表面波的 210 处高 2.7 倍。极限只在谱线附近、在足够近的距离上可靠。

高度从 100 nm 降到 10 nm， $z^{-3}$ 给出 1000 倍，完整模型给出 992 倍。在 100 nm 处，探针收到的能量 99.55% 来自倏逝波；这条线的高度是远场光谱峰值的 $2.1\times10^{4}$ 倍。Joulain 等人描述同一高度时说，发射几乎是单色的，中心在 $1.78\times10^{14}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ ，强度增加了四个数量级以上。

来源：K. Joulain · A. V. Shchegrov

到实验里试一试

一路降到 100 nm

先预测：探针从 1 mm 降到 100 nm，最强频率会从哪里移到哪里？中途会不会出现两个峰？
选“逼近扫描”预设，看最强频率和“束缚波所占能量”随高度变化。在 2 µm 附近停下，看低频那一侧是否还有一个更高的峰。
选“几乎单色”预设，读出峰值与远场峰值之比，与例题的结果比较；打开“更多数值”，看 166 处精确值与近距离极限之比。

阻尼和温度各改变什么

先预测：阻尼加倍，谱线会变高、变低还是变宽？样品从 300 K 升到 600 K 呢？
在“几乎单色”预设下，把阻尼倍数调到 2，再调回 1；然后选“样品更热”预设。
用积分能量大致不变解释阻尼的作用；用第一章算出的 $\Theta$ 之比 10.7 解释温度的作用。

练习与解答

在近距离极限下，SiC 在 166 处的 $u/u_0$ 在 100 nm 时是多少？与 178.7 处相比如何？
展开解答
166 处 $\operatorname{Im}\varepsilon/|\varepsilon+1|^2=0.407/42.2=9.65\times10^{-3}$ ， $k_0z=5.537\times10^{5}\times10^{-7}=0.0554$ ， $(k_0z)^3=1.70\times10^{-4}$ ， $u/u_0=9.65\times10^{-3}/(4\times1.70\times10^{-4})=14.2$ 。178.7 处是 $9.09\times10^{3}$ ，大约 640 倍。两处的 $\Theta$ 也不同，但这里比的是同一频率下与 $u_0$ 的比值，差别全部来自 $|\varepsilon+1|$ 。
为什么黑表面上方的能量密度只有腔内值的一半？离黑表面很近时，它会不会也按高度的负三次方增长？
展开解答
黑表面只从下方的半空间发射，上方是 0 K 的真空，没有反向来的辐射，所以只有一半。黑表面对所有入射波都不反射，模型里 $r=0$ ，倏逝项为零，能量密度在任何高度都是 $u_0/2$ ，没有近场增强。近场增强需要一个会吸收、又能在表面附近储存倏逝场的真实材料。
探针在 1 µm 时，模型给出的谱峰在 178.2 而不是 178.7（单位 $10^{12}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ ）。为什么离得远一些时峰会略微偏向低频？
展开解答
倏逝波到达探针时要乘上 $e^{-2\kappa z}$ 。1 µm 时，衰减常数大于约 $1/(2z)=5\times10^{5}\,\mathrm{m^{-1}}$ 的波已经很弱。第二章的色散曲线表明，越接近平坦渐近频率，表面波的波矢和衰减常数越大。离得越远，最靠近渐近频率的模式被压得越狠，剩下的贡献偏向色散曲线较低的一段，峰也就略微移向低频。到 100 nm 时峰回到 178.7。
样品温度从 300 K 升到 600 K，探针在 100 nm。远场光谱的峰值频率大约变成几倍？谱线位置变吗？谱线高度变成几倍？
展开解答
远场峰值频率与温度成正比，约变为 2 倍。谱线位置由 $\varepsilon=-1$ 决定，模型里介电函数与温度无关，所以不变。谱线高度正比于 $\Theta(178.7,T)$ ，600 K 时是 300 K 时的 10.7 倍。

来源与复算范围

A. V. Shchegrov, K. Joulain, R. Carminati and J.-J. Greffet, Near-field spectral effects due to electromagnetic surface excitations, Physical Review Letters 85, 1548–1551 (2000), HAL hal-01624761v1
HAL 存档中已发表信件的全文。式 (1)：Planck 谱等于模式能量乘模式密度。式 (2) 至 (5)：由涨落–耗散定理给出热电流，再求发射电场的能量密度。式 (6)：表面波色散关系。式 (7)、(8)：近场光谱等于模式能量乘局域模式密度，后者按高度的负三次方增长。第 1549 页给出 SiC 参数。图 1：300 K 的 SiC 上方 1000、2、0.1 µm 处的光谱，谱线位于 178.7（单位 10 的 12 次方 rad/s）。图 3：166 与 210（同一单位）处随高度的衰减。我们复算了谱线位置、高度规律和 166 处的衰减，没有数字化图中曲线。
K. Joulain, J.-P. Mulet, F. Marquier, R. Carminati and J.-J. Greffet, Surface electromagnetic waves thermally excited: radiative heat transfer, coherence properties and Casimir forces revisited in the near field, arXiv:physics/0504068v2; Surface Science Reports 57, 59–112 (2005)
2005 年 4 月 24 日 v2。第 2 节：表面波、Drude 介电函数（式 21）与 SiC 振子模型（式 22）。第 3.2 节：涨落–耗散定理与振子平均能量（式 25 至 30）。第 4.1、4.2 节：发射能量密度（式 44 至 48），发射率等于两种偏振透射系数之和的一半，以及它与 Kirchhoff 定律的关系；图 6 是 SiC 上方 100 µm、1 µm、100 nm 的光谱。第 7 节：两个半空间之间的热流（式 89 至 93）、随间隙平方反比增长的规律，以及转引自另一篇论文的图 17、18。第 8 节：由同一涨落场得到的 Casimir 力。式 45 印出的倏逝项多了一个因子 2，我们按式 48 定下系数。我们读到的文本版本里式 93 的系数排版残缺，所以只引用它与间隙平方成反比这一点。