近场传热为什么与间隙的平方成反比

隧穿通道在波矢空间里排成一个圆环

间隙远小于波长时，参与隧穿的面内波矢都远大于 $k_0$ 。和第三章一样，这时 p 偏振反射系数等于准静态值 $r=(\varepsilon-1)/(\varepsilon+1)$ ，与 $\beta$ 无关，s 偏振可以忽略。

令 $x=2\beta d$ ，透射率只依赖 $x$ 和 $r$ 。在谱线附近 $r$ 几乎是纯虚数，模很大。这时透射率是 $y=|r|^2e^{-x}$ 的函数，在 $y=1$ 也就是 $\beta=\ln|r|/d$ 处恰好等于 1，两侧都下降。

隧穿通道因此排在半径约 $\ln|r|/d$ 的圆环上，而不是从零一直排到某个上限。波矢太小，两个表面的反射太强，能量在缝里来回反射，进不了对面；波矢太大，衰减太快，透不过去。

\tau_p=\frac{4\,(\operatorname{Im}r)^{2}e^{-x}}{|1-r^{2}e^{-x}|^{2}},\qquad x=2\beta d,\qquad r=\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon+1}

两块相同材料的平板，p 偏振，准静态极限。

来源：K. Joulain

通道数与间隙平方成反比

对 $\beta$ 积分时换成 $x$ ， $\beta\,d\beta=x\,dx/(4d^2)$ ， $d$ 全部跑到积分外面，剩下的积分只依赖 $\varepsilon$ 。这一步就是平方反比律的来源。

剩下的积分可以精确算出。把透射率展成几何级数逐项积分，得到复二重对数 $\operatorname{Li}_2$ 。课程的基准脚本另写了一份这个函数，在 1 nm 间隙、四个频率上与模型的数值积分比较，最大相差 $1.5\times10^{-4}$ 。

当 $r$ 接近纯虚数且模很大时，精确结果简化为 $\ln|r|/(\pi d^2)$ ：通道数只随谐振强度对数增长。

传热系数是温差趋于零时热流与温差之比。它把每个频率的通道数乘上 $\partial\Theta/\partial T$ 再积分。每个频率上的通道数都与 $d^{-2}$ 成正比，传热系数也就与 $d^{-2}$ 成正比。Joulain 等人式 (93) 给出的是同一个结论。

\Phi_p=\int_0^{\infty}\frac{\beta\,d\beta}{2\pi}\,\tau_p=\frac{1}{8\pi d^{2}}\int_0^{\infty}x\,\tau_p(x)\,dx=\frac{(\operatorname{Im}r)^{2}}{2\pi d^{2}}\,\frac{\operatorname{Im}\operatorname{Li}_2(r^{2})}{\operatorname{Im}(r^{2})}

第二个等号只是换元，第三个等号用了

\operatorname{Im}[w/(1-w)]=\operatorname{Im}w/|1-w|^2

和

\int_0^\infty x\,a e^{-x}/(1-a e^{-x})\,dx=\operatorname{Li}_2(a)

。

r\approx i|r|,\;|r|\gg1:\qquad \tau_p\approx\frac{4y}{(1+y)^{2}},\quad y=|r|^{2}e^{-x},\qquad \Phi_p\approx\frac{\ln|r|}{\pi d^{2}}

把

x\,\tau_p

的积分换成对

y

积分：透射率曲线下的面积约为 4，乘上圆环位置

x=2\ln|r|

再除以

8\pi d^2

即得。

h(d)=\lim_{T_1\to T_2}\frac{q}{T_1-T_2}=\int_0^{\infty}\frac{d\omega}{2\pi}\,\frac{\partial\Theta}{\partial T}\,\Phi(\omega,d)\;\xrightarrow{\;d\to0\;}\;\propto d^{-2}

Joulain 等人式 (92) 的定义。课程模型在 300 K 下计算。

来源：K. Joulain

模型给出的传热系数

图中是 300 K 时两块 SiC 平板的传热系数随间隙的变化。间隙大于约 10 µm 时它几乎不变，约 $3.3\,\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}$ ，比两块黑板的 $6.12\,\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}$ 小，原因见第四章。间隙小于 1 µm 后曲线迅速变陡。

在 10 到 50 nm 之间拟合，指数是 $-1.92$ ，接近 $-2$ 。 $h\,d^2$ 在 10、20、50 nm 分别是 $9.34$ 、 $9.51$ 、 $10.5\times10^{-13}\,\mathrm{W\,K^{-1}}$ 。随着间隙缩小，p 偏振隧穿的份额从 92% 升到 99.6%，曲线越来越接近纯平方反比。

10 nm 时 $h=9.34\times10^{3}\,\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}$ ，是两块黑板的 1530 倍，是 100 µm 间隙时的 2870 倍，约三个半数量级。Joulain 等人写道，10 nm 时传热系数比远场值增加了四个数量级；他们的图 17 转引自另一篇论文。我们没有数字化这张图，也没有找到这半个数量级差别的原因。

平方反比不能一直用到零间隙。Joulain 等人提到有人因为零间隙时热流发散而质疑它；他们的回答是，10 nm 真空间隙的热阻仍远大于固体内部百纳米尺度的导热热阻，所以板内温度可以当作均匀。课程模型还假设介电函数是局域的，所以只算到 10 nm；更小间隙上的非局域修正没有检验。

300 K 时两块 SiC 平板之间的传热系数随间隙的变化，两轴均为对数坐标。圆点：课程模型，取自基准记录。琥珀色虚线：两块黑板，

4\sigma T^3=6.12\,\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}

。灰色虚线：过 10 nm 点的平方反比参考线。

来源：K. Joulain · NIST Reference on Constants

完整例题：10 nm 时谱线频率上有多少个通道

题目。两块 300 K 的 SiC 平板相距 10 nm。在 $\omega=178.7\times10^{12}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ 处估算单位面积的 p 偏振隧穿通道数，与两块黑板在同一频率的通道数比较；再用 20 nm 的传热系数预测 10 nm 的值。

建模。用准静态反射系数和对数近似，再与精确结果比较。

计算。 $\varepsilon=-1.008+0.129i$ ， $r=(\varepsilon-1)/(\varepsilon+1)=2.01+15.39i$ ， $|r|=15.5$ ， $\ln|r|=2.74$ 。圆环半径 $\beta\approx2.74/d=2.74\times10^{8}\,\mathrm{m^{-1}}$ 。通道数 $\Phi_p\approx2.74/(\pi d^2)=8.72\times10^{15}\,\mathrm{m^{-2}}$ ，精确结果给出 $8.69\times10^{15}\,\mathrm{m^{-2}}$ ，即每平方微米 8690 个。

比较。两块黑板在这个频率上两种偏振合计 $k_0^2/(2\pi)=0.0565$ 个每平方微米。隧穿通道多了 $1.5\times10^{5}$ 倍。只在谱线附近一小段频率里才有这么多，所以对整个光谱积分后，传热系数是黑板的 1530 倍。

预测。20 nm 时 $h=2377\,\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}$ ，乘 4 得 9508；模型给出 9342，预测高 1.8%。一部分原因是 20 nm 时还有 1.5% 的热流不走 p 偏振隧穿；另一部分是 20 nm 时 p 偏振本身也还没有完全进入准静态极限。

来源：K. Joulain

到实验里试一试

检验平方反比

先预测：间隙从 20 nm 缩到 10 nm，传热系数乘间隙平方这个读数会变大、变小还是基本不变？
选“单色传热”预设，打开“更多数值”读出传热系数乘以间隙平方；再把间隙调到 20 nm 和 50 nm 各读一次。看“传热系数随间隙的变化”图在哪一段变成斜率为负二的直线。
用 p 偏振隧穿份额随间隙的变化，解释为什么 50 nm 时这个乘积偏大。

阻尼越大，传热越强？

先预测：间隙 10 nm 时，把 SiC 的阻尼加倍，热流会变大还是变小？
在“单色传热”预设下，把阻尼倍数依次调到 0.5、1、2、4，记下净热流；再选“金板”和“材料不匹配”预设，比较 s 偏振与 p 偏振的份额。
用通道数只随谐振强度对数增长、而谐振频带随阻尼变宽来解释阻尼的作用；用两块板的谐振频率是否重合来解释材料搭配的作用。

练习与解答

模型里 SiC 的阻尼取 0.25、1、4 倍时，10 nm 处的传热系数分别是 5008、9342、12230 $\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}$ 。为什么损耗越大，热流反而越大？
展开解答
每个频率上的通道数约为 $\ln|r|/(\pi d^2)$ ，只随谐振强度对数变化：阻尼加大，峰值处 $|r|$ 变小，通道数只少一点。而 $|r|$ 大的频带宽度与阻尼成正比，阻尼加大，有很多通道的频率范围变宽。两者相乘，总热流增加。阻尼再大时谐振被抹平，增长变慢：从 2 倍到 4 倍只多 8%。
两块金板相距 100 nm，传热系数是 73.2 $\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}$ ，99% 由 s 偏振隧穿携带；SiC 对金只有 1.56 $\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}$ 。为什么金的 p 偏振几乎不传热？为什么 SiC 配金这么差？
展开解答
300 K 的热辐射频率上，金的 $|\varepsilon|$ 在 $10^{3}$ 以上，准静态 $r_p$ 接近 1，虚部很小，p 偏振隧穿通道几乎是关着的。p 偏振透射率正比于两块板反射系数虚部的乘积，SiC 的虚部只在 178.7 附近大，金在那里的虚部却很小，两者对不上，通道开不起来。剩下的主要是 s 偏振通道，那需要金这种高导电材料。
若 $|r|$ 从 15.5 变成 31，对数近似下 10 nm 时的通道数变成几倍？若间隙从 10 nm 变成 5 nm 呢？
展开解答
$\ln31/\ln15.5=3.43/2.74=1.25$ ，只多 25%。间隙减半时 $d^{-2}$ 给出 4 倍。改变间隙比增强谐振有效得多。
为什么不能用平方反比外推到 1 nm，说那里传热系数是 10 nm 时的一百倍？
展开解答
至少有三点没有检验：介电函数在一两个纳米尺度上不再是局域的，表面附近电子和晶格的响应会改变反射系数；间隙小到原子尺度时，宏观介电函数本身就不适用；还要考虑板内导热能否维持表面温度。课程模型只算到 10 nm，对更小间隙不作结论。

来源与复算范围

K. Joulain, J.-P. Mulet, F. Marquier, R. Carminati and J.-J. Greffet, Surface electromagnetic waves thermally excited: radiative heat transfer, coherence properties and Casimir forces revisited in the near field, arXiv:physics/0504068v2; Surface Science Reports 57, 59–112 (2005)
2005 年 4 月 24 日 v2。第 2 节：表面波、Drude 介电函数（式 21）与 SiC 振子模型（式 22）。第 3.2 节：涨落–耗散定理与振子平均能量（式 25 至 30）。第 4.1、4.2 节：发射能量密度（式 44 至 48），发射率等于两种偏振透射系数之和的一半，以及它与 Kirchhoff 定律的关系；图 6 是 SiC 上方 100 µm、1 µm、100 nm 的光谱。第 7 节：两个半空间之间的热流（式 89 至 93）、随间隙平方反比增长的规律，以及转引自另一篇论文的图 17、18。第 8 节：由同一涨落场得到的 Casimir 力。式 45 印出的倏逝项多了一个因子 2，我们按式 48 定下系数。我们读到的文本版本里式 93 的系数排版残缺，所以只引用它与间隙平方成反比这一点。
NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty: speed of light in vacuum, reduced Planck constant, Boltzmann constant and Stefan–Boltzmann constant
这四个常量的数值页面。2019 年起，光速、Planck 常量和 Boltzmann 常量在国际单位制中都是精确值，由它们算出的 Stefan–Boltzmann 常量与 NIST 列出的 5.670374419 十位数字全部一致。