FR32 · 跨越真空间隙的热量

近场传热：突破黑体极限

两块平板交换的热量怎么能比两个黑体还多？ 靠隧穿过间隙的波。黑体极限只计入能在两板之间自由传播的波，但每个表面还束缚着在约一个波长内衰减的波。间隙远小于热波长时，这些束缚波能到达另一块板，也参与输运热量。两块相距 10 纳米的碳化硅板，按模型计算交换的热流超过黑体极限的一千倍。

缩小两块热板之间的真空间隙，看隧穿波输运的热流达到黑体极限的上千倍。

真空间隙 $1\,\mu\mathrm{m}$

净热流 $2.18\times10^{3}\,\mathrm{W\,m^{-2}}$

与两块黑板之比 $2.20\times$

隧穿波所占份额 $70.6\%$

两块平板，一道真空间隙

真空间隙

1\,\mu\mathrm{m}

热板温度

400\,\mathrm{K}

冷板温度

300\,\mathrm{K}

平板材料

拖动冷板边缘，或在热板上方任意处按下。

高级：材料阻尼

阻尼倍数

1\times

按比例改变两块板中碳化硅的声子阻尼或金的电子阻尼。匹配碳化硅板的小间隙热流对它只是弱依赖，因为谱线越尖也越窄。

模型、单位与来源

$q=\int\frac{d\omega}{2\pi}\,[\Theta(\omega,T_1)-\Theta(\omega,T_2)]\int\frac{\beta\,d\beta}{2\pi}\sum_{j}\tau_j(\omega,\beta,d)$

热流单位为 $\mathrm{W\,m^{-2}}$ ；黑板参考值为 $\sigma(T_1^{4}-T_2^{4})$ 。两板温度相同时，实验室给出线性响应的热导，而不是两个零热流之比。

Joulain et al. (2005), Surf. Sci. Rep. 57, 59, Sec. 7 · Shchegrov et al. (2000), SiC parameters · Lambrecht & Reynaud (2000), gold parameters

在课程中推导热流公式

模型假设

两块温度均匀的平整半无限厚平板隔着真空间隙相对。每块板用局域介电函数描述：碳化硅取单个 Lorentz 振子，参数来自 Shchegrov 等人（2000）；金取 Drude 金属。净热流按 Joulain 等人（2005）第 7 节的 Landauer 型求和，对两种偏振的行波与隧穿波求和得到。平板视为无限大，忽略边缘、粗糙度、有限厚度和板内导热。间隙小于约 10 nm 时，局域连续介质模型不再可靠。

热量在哪些频率流动

传热系数随间隙的变化

哪些通道是开放的

更多数值与计算方法

传热系数: $0$
两块黑板（相同温度）: $0$
行波所占份额: $0$
s 偏振隧穿所占份额: $0$
p 偏振隧穿所占份额: $0$
传热系数乘以间隙平方: $0$
电导图已计算的间隙数: $0$

在固定频率上用自适应 Gauss–Kronrod 求积对波矢积分得到通道透射，频率取每十倍频程三个六阶 Gauss–Legendre 区间，再用两块板的 Planck 占据数加权。34 个预算扫描点之间的间隙按对数插值。模型版本 fr32-near-field-heat-transfer-v1。

物理教程

隧穿过真空间隙的热量

背景两块相对的黑板交换热量的速率由 Stefan–Boltzmann 定律给出，与距离无关。这条规则默认热量只由能在间隙中自由传播的波携带。当间隙小于热波长（室温下约 10 µm）时，束缚在一个表面上的倏逝波能够到达另一个表面，也参与输运热量。

为什么值得理解近场传热限制了热读写头和探针尖能靠多近工作，也是人们研究近场热光伏器件的原因。它还是涨落电动力学的一个干净检验：同一组反射系数同时预言远场和近场的结果。

先抓重点

核心问题: 两块平板交换的热量怎么能比两个黑体还多？
一句话直觉: 黑体极限只计入能够离开表面的波。平板还拥有数量多得多的、面内波矢很大的束缚模式。间隙很小时它们发生隧穿，每一个携带热量的能力几乎和行波一样。它们的数目按间隙平方的倒数增长，热流也随之增长；对碳化硅来说，几乎所有热量都在表面模频率处流动。

核心数学模型

净热流：对通道求和

q=\int_{0}^{\infty}\frac{d\omega}{2\pi}\,\bigl[\Theta(\omega,T_1)-\Theta(\omega,T_2)\bigr]\int_{0}^{\infty}\frac{\beta\,d\beta}{2\pi}\sum_{j=s,p}\tau_j(\omega,\beta,d)

每个面内波矢 $\beta$ 和偏振构成一个通道，透射率 $0\le\tau_j\le1$ ； $\Theta$ 是一个模式的平均能量。这就是 Joulain 等人（2005）式 90 与式 91 按通道改写后的形式。

行波通道与隧穿通道

\tau_j=\begin{cases}\dfrac{(1-|r_{1}|^{2})(1-|r_{2}|^{2})}{|1-r_{1}r_{2}e^{2i\gamma d}|^{2}}, & \beta<k_0\\[2ex]\dfrac{4\operatorname{Im}r_{1}\operatorname{Im}r_{2}\,e^{-2|\gamma|d}}{|1-r_{1}r_{2}e^{-2|\gamma|d}|^{2}}, & \beta>k_0\end{cases}

其中 $r_1,r_2$ 是两块板在偏振 $j$ 下的 Fresnel 系数， $\gamma=\sqrt{k_0^{2}-\beta^{2}}$ 。对黑板，第一行等于 1、第二行等于 0，于是得到 $\sigma(T_1^{4}-T_2^{4})$ 。

为什么小间隙热流按间隙平方的倒数增长

\tau_p\approx\frac{4\operatorname{Im}r_{1}\operatorname{Im}r_{2}\,e^{-2\beta d}}{|1-r_{1}r_{2}e^{-2\beta d}|^{2}}\ \Rightarrow\ \int\beta\,d\beta\,\tau_p\propto\frac{1}{d^{2}}

当 $d\ll\lambda$ 时，p 偏振系数不再依赖 $\beta$ ，积分在 $\beta\sim1/d$ 处被截断。300 K 的碳化硅在 10 到 20 nm 之间 $h\,d^{2}$ 保持在约 $9.4\times10^{-13}\,\mathrm{W\,K^{-1}}$ 。

常见难点

Stefan–Boltzmann 定律是不可逾越的上限

容易误解任何两个表面交换的热量都不可能超过两个黑体。

正确理解这条定律只是行波的上限。隧穿通道是额外的；在这个模型里，间隙为 10 nm 时碳化硅板交换的热量超过黑板的一千倍。

任何材料的增强都一样

容易误解任何两块热板靠近时都得到同样的增强。

正确理解只有两块板在同一频率都有吸收时，隧穿通道才会打开。100 nm 时碳化硅对金的传热比两块黑板还少，因为金在碳化硅谱线处没有表面模。

动手实验

01
从黑体区开始
选择“黑体区”，读出与两块黑板之比。
你会看到： 20 µm 时比值约为 0.57：碳化硅在它的反射带中强烈反射，所以表现不如黑体。
02
先预测，再缩小间隙
先猜测间隙在 1 µm 以下缩小十倍时热流怎样变化，再把冷板向下拖。
你会看到： 从 1 µm 到 100 nm，热流约增至九倍；从 100 nm 到 10 nm 约增至七十倍，接近间隙平方反比律的一百倍。到 10 nm 时比值超过一千，光谱只剩一个窄峰。
03
用不匹配的平板来解释
在 100 nm 处比较“金板”“材料不匹配”与碳化硅板对。
你会看到： 金板对增强约八倍，几乎全部来自 s 偏振；碳化硅对金则降到黑板热流的约五分之一。