倏逝波与碳化硅的表面声子极化激元

面内波矢太大的波离不开表面

在真空里，频率为 $\omega$ 的平面波波数是 $k_0=\omega/c$ 。把波矢拆成平行于表面的分量 $\beta$ 和垂直分量 $k_z$ ，有 $\beta^2+k_z^2=k_0^2$ 。只要 $\beta<k_0$ ， $k_z$ 是实数，波可以离开表面走向远处。

材料内部的热电流什么样的 $\beta$ 都能产生。当 $\beta>k_0$ 时， $k_z$ 变成虚数，场在真空一侧按 $e^{-\kappa z}$ 衰减，能量密度按 $e^{-2\kappa z}$ 衰减。这种波叫倏逝波。它沿表面方向的周期比真空波长还短，离表面越远越弱，远处的光谱仪测不到。

玻璃里的全反射是同一回事：反射面外侧也有一层倏逝场，只是平时没有东西去接它。若把第二块玻璃推到这层场里，光会隧穿过去。第四、五章的热流就靠这种隧穿。

k_z=\sqrt{k_0^{2}-\beta^{2}}=i\kappa,\qquad \kappa=\sqrt{\beta^{2}-k_0^{2}},\qquad |\mathbf E|^{2}\propto e^{-2\kappa z}\quad(\beta>k_0)

取

\operatorname{Im}k_z>0

的一支，场在离开表面的方向衰减。

来源：A. V. Shchegrov · K. Joulain

反射系数的极点就是表面波

倏逝波里有一类特殊的解：没有入射波，界面两侧的场仍能自洽存在，沿表面传播，向两侧衰减。这样的解要求反射系数的分母为零，也就是反射系数的极点。

非磁性材料没有 s 偏振的表面波。s 偏振的分母是 $k_{z0}+k_{z1}$ ，两侧都衰减时两项的虚部都为正，加起来不可能为零。p 偏振的分母是 $\varepsilon k_{z0}+k_{z1}$ ，如果 $\varepsilon$ 是负的，两项可以相消。

把 $k_{z0}^2=k_0^2-\beta^2$ 和 $k_{z1}^2=\varepsilon k_0^2-\beta^2$ 代入 $\varepsilon^2k_{z0}^2=k_{z1}^2$ ，整理得 $\beta^2=k_0^2\,\varepsilon/(\varepsilon+1)$ 。要让 $\beta$ 是实数且大于 $k_0$ ，需要 $\varepsilon<-1$ 。

r_p=\frac{\varepsilon\,k_{z0}-k_{z1}}{\varepsilon\,k_{z0}+k_{z1}},\qquad \varepsilon\,k_{z0}+k_{z1}=0\;\Longrightarrow\;\beta=k_0\sqrt{\frac{\varepsilon}{\varepsilon+1}}

Joulain 等人式 (17) 与式 (20)，Shchegrov 等人式 (6)。

k_{z0}

在真空一侧，

k_{z1}

在材料一侧。

来源：K. Joulain · A. V. Shchegrov

色散曲线变平的地方，模式挤在一起

SiC 的 $\varepsilon$ 在 $\omega_T$ 到 $\omega_L$ 之间为负。频率从 $\omega_T$ 往上走， $\varepsilon$ 从很大的负数升向 $-1$ ， $\beta/k_0$ 从略大于 1 一路增大，到 $\varepsilon=-1$ 时趋于无穷。这个频率记作 $\omega_{\mathrm{sp}}$ 。

色散曲线在 $\omega_{\mathrm{sp}}$ 附近几乎水平：一大片 $\beta$ 值对应几乎同一个频率。在这一窄频段里，单位面积上的表面模式数目远多于真空里同频率的传播模式。Joulain 等人把它称作电磁态密度的峰。

用 Shchegrov 等人给出的参数， $\omega_{\mathrm{sp}}=178.74\times10^{12}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ 。Joulain 等人从以波数给出的参数算出 $1.784\times10^{14}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ ，差 0.2%，来自单位换算时的舍入。

当 $\beta$ 远大于 $k_0$ 时，两侧的 $k_z$ 都接近 $i\beta$ ，反射系数不再依赖 $\beta$ 。它的虚部只由 $\varepsilon$ 决定，在 $|\varepsilon+1|$ 最小处最大。下一章会看到，这个虚部就是近场里每个倏逝模式的发射强度。

\varepsilon(\omega_{\mathrm{sp}})=-1\;\Longrightarrow\;\omega_{\mathrm{sp}}=\sqrt{\frac{\varepsilon_\infty\omega_L^{2}+\omega_T^{2}}{\varepsilon_\infty+1}}

无损极限下令 SiC 的介电函数等于

-1

解出的频率。

\beta\gg k_0:\quad r_p\to\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon+1},\qquad \operatorname{Im}r_p\to\frac{2\operatorname{Im}\varepsilon}{|\varepsilon+1|^{2}}

准静态极限：此时 p 偏振反射与波矢无关。在 178.7 处

\operatorname{Im}\varepsilon/|\varepsilon+1|^2=7.70

，在 166 处只有 0.0097（单位

10^{12}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}

）。

来源：K. Joulain · A. V. Shchegrov

完整例题：166 处的表面波能伸出多远

题目。Shchegrov 等人图 3 显示，在 $\omega=166\times10^{12}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ 处，能量密度在 1 到 5 µm 高度之间按指数衰减，而在 210 处不是。求 166 处表面波的 $\beta/k_0$ 和能量衰减长度 $1/(2\kappa)$ ，再说明 210 处为什么没有指数段。

建模。忽略阻尼，取 $\varepsilon(166)=-7.495$ 。用色散关系求 $\beta$ ，再求 $\kappa=\sqrt{\beta^2-k_0^2}$ 。

计算。 $k_0=166\times10^{12}/(2.998\times10^{8})=5.537\times10^{5}\,\mathrm{m^{-1}}$ ，对应真空波长 11.35 µm。 $\beta^2/k_0^2=7.495/6.495=1.1540$ ， $\beta/k_0=1.074$ 。 $\kappa/k_0=\sqrt{0.1540}=0.3924$ ， $\kappa=2.173\times10^{5}\,\mathrm{m^{-1}}$ ，能量衰减长度 $1/(2\kappa)=2.30\,\mu\mathrm{m}$ 。

验算。课程的基准脚本用完整模型（含阻尼、含所有倏逝波）算出 2 到 5 µm 之间的能量密度，再拟合指数，得到 2.286 µm，与 2.301 µm 差 0.65%。指数段确实由这一个表面模主导。

210 处 $\varepsilon=3.30$ ，是正数，没有表面波。那里的倏逝能量来自一片连续的 $\beta$ ，衰减长度各不相同，叠加起来不是单一指数。越靠近 $\omega_{\mathrm{sp}}$ ，表面波贴得越紧：175 处 $\beta/k_0=1.35$ ，衰减长度 0.95 µm；178 处 $\beta/k_0=2.37$ ，0.39 µm。

来源：A. V. Shchegrov

到实验里试一试

比较两个频率怎样随高度衰减

先预测：在 1 到 5 µm 之间，166 和 210 这两个频率，哪一个的能量密度在对数坐标下是一条直线？
选“谱线浮现”预设，看“两个频率随高度的变化”图。在 1 到 5 µm 之间量出 166 那条曲线降到 1/e 所需的高度差，和例题的 2.30 µm 比较。
再看“哪些波携带能量”图，找出亮带沿着哪条曲线走；把探针降到 100 nm，说明亮带为什么移向更大的面内波矢。

金表面为什么没有谱线

先预测：金的表面等离激元在近紫外。300 K 时它会在探针处的光谱里出现吗？
选“金：没有谱线”预设，读出最强频率，再把高度调到 10 nm。
用平坦渐近频率和第一章的平均模式能量解释：金的表面模存在，只是 300 K 时几乎没有能量。

让倏逝波把能量带过空气隙

先预测：玻璃–空气界面超过临界角时，空气里的场会把能量从表面带走吗？
打开“边界波隧穿”Lab，先选“单界面全反射”预设，再选“双界面隧穿”。把空气隙调窄再调宽，看穿过间隙的功率怎样变化。
用本章的衰减常数解释：一个衰减波本身为什么不带走能量，第二块玻璃靠近后能量为什么又能过去。第四章两块平板之间的隧穿通道就是同一件事。

练习与解答

某材料在某频率上 $\varepsilon=-2$ （忽略损耗）。求表面波的 $\beta/k_0$ ，以及能量衰减长度与真空波长之比。
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$\beta^2/k_0^2=(-2)/(-1)=2$ ， $\beta/k_0=\sqrt2=1.414$ 。 $\kappa=\sqrt{2k_0^2-k_0^2}=k_0$ ，能量衰减长度 $1/(2k_0)=\lambda/(4\pi)$ ，约为真空波长的 8%。
为什么 $-1<\varepsilon<0$ 时没有表面波？
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此时 $\varepsilon/(\varepsilon+1)$ 是负数， $\beta^2$ 为负， $\beta$ 不是实数，没有沿表面传播、向两侧衰减的解。SiC 在 $\omega_{\mathrm{sp}}$ 与 $\omega_L$ 之间就是这种情形，所以表面波只出现在 $\omega_T$ 到 $\omega_{\mathrm{sp}}$ 之间。
金的等离子体频率 $\omega_P=1.385\times10^{16}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ 。在 Drude 模型里，它的表面模平坦渐近频率是多少？300 K 时 $\hbar\omega/k_BT$ 有多大，这个模式里能有多少热能？
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无损 Drude 模型 $\varepsilon=1-\omega_P^2/\omega^2=-1$ 给出 $\omega_{\mathrm{sp}}=\omega_P/\sqrt2=9.79\times10^{15}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ 。300 K 时 $\hbar\omega/k_BT=249$ ，平均模式能量约为 $249\,e^{-249}\,k_BT$ ，实际上为零。金的近场光谱里因此没有对应的谱线。
在准静态极限下，比较 SiC 在 178.7 和 166 处的 $\operatorname{Im}r_p$ （单位 $10^{12}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ ）。
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178.7 处 $\varepsilon=-1.008+0.129i$ ， $|\varepsilon+1|^2=0.0168$ ， $\operatorname{Im}r_p=2\times0.129/0.0168=15.4$ 。166 处 $\varepsilon=-7.48+0.41i$ ， $|\varepsilon+1|^2=42.2$ ， $\operatorname{Im}r_p=0.019$ 。前者大约 800 倍。差别来自分母：178.7 处 $\varepsilon$ 几乎正好是 $-1$ 。

来源与复算范围

A. V. Shchegrov, K. Joulain, R. Carminati and J.-J. Greffet, Near-field spectral effects due to electromagnetic surface excitations, Physical Review Letters 85, 1548–1551 (2000), HAL hal-01624761v1
HAL 存档中已发表信件的全文。式 (1)：Planck 谱等于模式能量乘模式密度。式 (2) 至 (5)：由涨落–耗散定理给出热电流，再求发射电场的能量密度。式 (6)：表面波色散关系。式 (7)、(8)：近场光谱等于模式能量乘局域模式密度，后者按高度的负三次方增长。第 1549 页给出 SiC 参数。图 1：300 K 的 SiC 上方 1000、2、0.1 µm 处的光谱，谱线位于 178.7（单位 10 的 12 次方 rad/s）。图 3：166 与 210（同一单位）处随高度的衰减。我们复算了谱线位置、高度规律和 166 处的衰减，没有数字化图中曲线。
K. Joulain, J.-P. Mulet, F. Marquier, R. Carminati and J.-J. Greffet, Surface electromagnetic waves thermally excited: radiative heat transfer, coherence properties and Casimir forces revisited in the near field, arXiv:physics/0504068v2; Surface Science Reports 57, 59–112 (2005)
2005 年 4 月 24 日 v2。第 2 节：表面波、Drude 介电函数（式 21）与 SiC 振子模型（式 22）。第 3.2 节：涨落–耗散定理与振子平均能量（式 25 至 30）。第 4.1、4.2 节：发射能量密度（式 44 至 48），发射率等于两种偏振透射系数之和的一半，以及它与 Kirchhoff 定律的关系；图 6 是 SiC 上方 100 µm、1 µm、100 nm 的光谱。第 7 节：两个半空间之间的热流（式 89 至 93）、随间隙平方反比增长的规律，以及转引自另一篇论文的图 17、18。第 8 节：由同一涨落场得到的 Casimir 力。式 45 印出的倏逝项多了一个因子 2，我们按式 48 定下系数。我们读到的文本版本里式 93 的系数排版残缺，所以只引用它与间隙平方成反比这一点。