L3 · 第 6 章

Casimir 力怎样让一块微机械平板有两种摆幅

Sandbox Physics · 2026-10-30

两块不带电的金属靠得很近，会互相吸引。这是 Casimir 力，来源与前几章的热流相同：两块镜面之间的电磁涨落。2001 年，Chan 等人把一个镀金小球放到一块微机械扭转平板上方约 100 nm 处，发现平板的共振频率被拉低，共振曲线变歪，最后在同一个间隙上出现了两种稳定摆幅，取决于平板是从哪一侧移过来的。

热流为零，力却不为零

第四章的热流只用到 $\Theta$ ：零点能 $\hbar\omega/2$ 在两侧相同，相减后消失。Casimir 力不同。它是缝里电磁场的动量流，由 Maxwell 应力张量给出，计算时每个模式的能量要取 $\Theta+\hbar\omega/2$ 。Joulain 等人第 3.4 节专门说明了这一区别。

两块温度相同的板之间，净热流严格为零，吸引力照样存在，0 K 时也存在。两块理想镜面之间，缝里能存在的模式比外面少；缝变窄，模式更少，零点能更低，于是两板相吸。这就是 Casimir 1948 年的结果。

热的部分什么时候重要？Lambrecht 和 Reynaud 给出热长度 $\lambda_T=\hbar c/(k_BT)$ ，300 K 时是 7.63 µm。间隙远小于它时，热修正可以忽略；本章的间隙在 100 nm 上下，力几乎全部来自零点涨落。

\frac{F_C}{A}=\frac{\pi^{2}\hbar c}{240\,L^{4}},\qquad \frac{E_C}{A}=\frac{\pi^{2}\hbar c}{720\,L^{3}}

Lambrecht 和 Reynaud 式 (1)、(2)：理想镜面之间单位面积的 Casimir 力和能量。1 µm 时压强 1.30 mPa，100 nm 时 13.0 Pa。

来源：K. Joulain · A. Lambrecht and S. Reynaud

真实的金：短距离上反射变差

真实金属只在等离子体频率以下反射良好。金的等离子体波长 $\lambda_P$ 是 136 nm。间隙远大于它时，参与的模式频率低，金几乎是理想镜面；间隙与它相当或更小时，参与的模式里有一部分频率太高，金对它们反射不好，力被削弱。

Lambrecht 和 Reynaud 用折减因子 $\eta_F$ 、 $\eta_E$ 描述这一点。长距离一侧， $\eta_F$ 比 1 少一项与 $\lambda_P/L$ 成正比的修正；短距离一侧， $\eta_F$ 与 $L/\lambda_P$ 成正比，系数 1.193。课程模型用等离子体模型复算，得到 1.1933 和能量与力之比 1.4995，与他们的 1.193 和 3/2 一致。

电子弛豫让结果再小一点。用 Drude 模型，阻尼与等离子体频率之比取 0.035/9.0，力比等离子体模型小 1.3% 到 1.8%，与他们“小于 2%”的说法一致。他们用金的光学数据表算出的值，在 0.1、0.5、3 µm 处分别是 0.48、0.81、0.96；课程的 Drude 模型给出 0.440、0.793、0.948，在 0.1 µm 处低 8%。课程用模型介电函数代替了实测光学数据，这是最可能的原因，但我们没有用光学数据重算验证。

F=\eta_F\,F_C,\qquad \eta_F\simeq1-\frac{8\lambda_P}{3\pi L}\;(L\gg\lambda_P),\qquad \eta_F\simeq1.193\,\frac{L}{\lambda_P},\;\eta_E\simeq\frac{3}{2}\,1.193\,\frac{L}{\lambda_P}\;(L\ll\lambda_P)

Lambrecht 和 Reynaud 式 (4)、(5)、(14)、(15)。

\lambda_P=2\pi c/\omega_P

。

来源：A. Lambrecht and S. Reynaud

小球、平板与一根扭转弹簧

实验里不用两块平行板，而用小球对平板，这样不用调平行。邻近力近似把球面看成一圈圈平板，每一圈按局部间隙贡献，得到球受的力等于 $2\pi R$ 乘平板之间单位面积的能量。

Chan 等人的平板长 500 µm，挂在两根扭转杆上，转动惯量 $I=7.1\times10^{-17}\,\mathrm{kg\,m^2}$ ，自由共振频率 2753.47 Hz，品质因数 7150。小球半径 100 µm，压在离转轴 $b=131.0\,\mu\mathrm{m}$ 的地方。

Casimir 力随间隙缩小而增大，相当于一根负刚度的弹簧，把共振频率拉低。频移由力的一阶导数决定。力的二阶、三阶导数让回复力不再是线性的，共振峰向低频歪斜。振幅方程里，非线性的强弱由一个系数 $\kappa$ 概括。

歪斜够大时，同一个驱动频率对应三个振幅，中间那个不稳定。平板从远处移近时停在小振幅一支，从近处退开时停在大振幅一支，这就是迟滞。

F_{\mathrm{sphere}}(z)=2\pi R\,\eta_E\,\frac{E_C(z)}{A}\;\xrightarrow{\;\eta_E=1\;}\;\frac{\pi^{3}\hbar c\,R}{360\,z^{3}},\qquad F'(z)=\frac{\pi^{3}\hbar c\,R}{120\,z^{4}}

Lambrecht 和 Reynaud 式 (8) 的邻近力近似；右边是理想镜面的情形，其导数就是 Chan 等人式 (4)。

\omega_1^{2}=\omega_0^{2}-\frac{b^{2}F'(z)}{I},\qquad \Delta f\approx-\frac{f_0\,b^{2}F'(z)}{2I\omega_0^{2}}

Chan 等人式 (1)、(2)。

I\omega_0^2=2.125\times10^{-8}\,\mathrm{N\,m}

，与他们给出的扭转刚度

2.1\times10^{-8}\,\mathrm{N\,m\,rad^{-1}}

一致。

A^{2}\left[\left(\omega-\omega_1-\kappa A^{2}\right)^{2}+\gamma^{2}\right]=\frac{\tau^{2}}{4I^{2}\omega_1^{2}},\qquad \kappa=\frac{3\beta}{8\omega_1}-\frac{5\alpha^{2}}{12\omega_1^{3}}

Chan 等人式 (5)。

\alpha

、

\beta

分别正比于力的二阶和三阶导数，

\gamma=\omega_0/(2Q)

。

来源：A. Lambrecht and S. Reynaud · H. B. Chan

完整例题：98 nm 处的频移和非线性

题目。按 Chan 等人的做法，把金当作理想镜面，求小球离平板 98 nm 时的 Casimir 力、频移和非线性系数，与他们图 4 图注的 $\kappa=-2.8\times10^{8}\,\mathrm{rad^{-2}\,s^{-1}}$ 比较；再说明换成 Drude 金后有什么变化。

计算力。 $F=\pi^3\hbar cR/(360z^3)$ ，代入 $R=100\,\mu\mathrm{m}$ 、 $z=98\,\mathrm{nm}$ ，得 289 pN。梯度 $F'=3F/z=8.86\times10^{-3}\,\mathrm{N\,m^{-1}}$ 。

计算频移。 $b^2F'=(131\times10^{-6})^2\times8.86\times10^{-3}=1.52\times10^{-10}\,\mathrm{N\,m}$ ，除以 $2I\omega_0^2=4.25\times10^{-8}\,\mathrm{N\,m}$ 得 $3.58\times10^{-3}$ ，再乘 2753.47 Hz，一阶频移 $-9.85\,\mathrm{Hz}$ 。直接用 $\omega_1$ 的平方根公式得 $-9.86\,\mathrm{Hz}$ 。

非线性。模型由力的二阶、三阶导数算出 $\kappa=-2.80\times10^{8}\,\mathrm{rad^{-2}\,s^{-1}}$ ，与图注一致；141 nm 和 116.5 nm 处也分别给出 $-3.13\times10^{7}$ 和 $-9.86\times10^{7}$ ，对应图注的 $-3.1\times10^{7}$ 和 $-1.0\times10^{8}$ 。

换成 Drude 金。同样 98 nm，力只有 149 pN，频移 $-4.28\,\mathrm{Hz}$ ， $\kappa=-9.1\times10^{7}$ 。这不说明实验错了。Chan 等人的距离是用理想镜面公式拟合频移得到的（最近距离 85.9 nm），他们也写明没有做计入有限电导和粗糙度的精确比较。用 Drude 金，同样的频移出现在更小的间隙上。

迟滞。驱动固定在 2748 Hz、自由摆幅 39 nm，平板先靠近再退开。理想镜面下，模型在 117.25 到 120.25 nm 之间出现两种摆幅，最大相差 5.71 倍；Drude 金在 95.0 到 98.25 nm 之间，相差 6.21 倍。Chan 等人写的是“最多相差 6 倍”。

来源：H. B. Chan · A. Lambrecht and S. Reynaud

到实验里试一试

把共振拉低

先预测：小球从 3.3 µm 移到 141 nm，共振频率会降多少赫兹？
依次选“金球在远处”和“共振被拉低”预设，读出共振频移和 Casimir 力；再打开“三种镜面模型的共振频移”图，比较理想镜面和金。
用力的梯度解释频移；用金的等离子体波长解释为什么理想镜面的频移更大。

同一个间隙，两种摆幅

先预测：驱动固定在 2748 Hz，小球慢慢靠近再慢慢退开，两次经过 97 nm 时摆幅一样吗？
选“迟滞扫描”预设，看“扫描间隙时的摆幅”图里靠近和退开两条曲线；再选“两种稳定摆幅”和“理想镜面”预设，比较双稳区在哪个间隙。
用歪斜的共振曲线和不稳定的中间解解释迟滞；最后选“吸合”预设，说明负刚度超过扭转弹簧时会发生什么。

边界动起来：从吸引力到光子对

先预测：静止的镜面只让两板相吸。如果用外加泵浦快速调制一个边界，探测器会看到什么？单看一路输出，它和热光能区分吗？
在动态 Casimir 效应实验里，先把泵浦面积设为零，再逐步加大；把输出和同样亮的热光对照，再旋转共同接收相位，看两路共有的涨落怎样变化。
说明静态 Casimir 力和这里的光子对都从同一种真空涨落出发：边界不动时只改变零点能，边界被泵浦调制时，泵浦的能量把涨落变成成对的光子。

练习与解答

理想镜面在 10 nm 处的 Casimir 压强是多少？用 Lambrecht 和 Reynaud 的短距离斜率估算金在这里的折减因子和实际压强。
展开解答
压强与 $L^{-4}$ 成正比，100 nm 时 13.0 Pa，10 nm 时 $1.30\times10^{5}\,\mathrm{Pa}$ ，约 1.3 个大气压。 $L/\lambda_P=10/136=0.074$ ， $\eta_F\approx1.193\times0.074=0.088$ ，实际约 $1.1\times10^{4}\,\mathrm{Pa}$ 。这只是渐近式的估算，10 nm 时局域介电函数是否还适用也没有检验。
扭转刚度 $I\omega_0^2=2.125\times10^{-8}\,\mathrm{N\,m}$ 。理想镜面下，小球离平板多近时 Casimir 力的梯度会抵消弹簧（ $b^2F'=I\omega_0^2$ ）？
展开解答
$F'=2.125\times10^{-8}/(131\times10^{-6})^2=1.238\,\mathrm{N\,m^{-1}}$ 。由 $F'=\pi^3\hbar cR/(120z^4)$ 得 $z^4=6.60\times10^{-31}\,\mathrm{m^4}$ ， $z=28.5\,\mathrm{nm}$ 。再近一点，平板就被吸过去。用 Drude 金时这个距离是 17.0 nm。
迟滞扫描里，为什么从远处靠近时停在小振幅一支，退开时停在大振幅一支，而不是反过来？
展开解答
驱动频率 2748 Hz 低于远处的共振频率，而 $\kappa<0$ 让共振峰向低频歪，所以驱动正好落在峰歪过去的那一侧。小球靠近时共振频率往下移向驱动，平板从小振幅解出发，在双稳区里一直沿着这一支走，到这一支消失才跳到大振幅。退开时平板从大振幅解出发；歪斜的峰让大振幅一支一直延伸到离共振更远的驱动频率，也就是更大的间隙，然后才落回小振幅。模型在 97.25 nm 处给出靠近时 7.2 nm、退开时 36 nm 的摆幅（Drude 金）。
两块金板都在 300 K，间隙 100 nm。它们之间的净热流和 Casimir 力各是多少？把两板都降到 4 K 后又如何？
展开解答
净热流为零，因为每个通道两侧的 $\Theta$ 相同。Casimir 力不为零，它来自 $\Theta+\hbar\omega/2$ ，其中零点项与温度无关。100 nm 远小于 300 K 时的热长度 7.63 µm，力几乎全部来自零点项，降到 4 K 时几乎不变，净热流仍为零。

来源与复算范围

K. Joulain, J.-P. Mulet, F. Marquier, R. Carminati and J.-J. Greffet, Surface electromagnetic waves thermally excited: radiative heat transfer, coherence properties and Casimir forces revisited in the near field, arXiv:physics/0504068v2; Surface Science Reports 57, 59–112 (2005)
2005 年 4 月 24 日 v2。第 2 节：表面波、Drude 介电函数（式 21）与 SiC 振子模型（式 22）。第 3.2 节：涨落–耗散定理与振子平均能量（式 25 至 30）。第 4.1、4.2 节：发射能量密度（式 44 至 48），发射率等于两种偏振透射系数之和的一半，以及它与 Kirchhoff 定律的关系；图 6 是 SiC 上方 100 µm、1 µm、100 nm 的光谱。第 7 节：两个半空间之间的热流（式 89 至 93）、随间隙平方反比增长的规律，以及转引自另一篇论文的图 17、18。第 8 节：由同一涨落场得到的 Casimir 力。式 45 印出的倏逝项多了一个因子 2，我们按式 48 定下系数。我们读到的文本版本里式 93 的系数排版残缺，所以只引用它与间隙平方成反比这一点。
H. B. Chan, V. A. Aksyuk, R. N. Kleiman, D. J. Bishop and F. Capasso, Nonlinear micromechanical Casimir oscillator, arXiv:quant-ph/0109046v2; Physical Review Letters 87, 211801 (2001)
2001 年 9 月 21 日 v2。装置：一块 500 µm 的多晶硅平板，镀金，由两根扭转杆支撑；对面是半径 100 µm 的镀金小球。式 (1)：把 Casimir 力展开到三阶的运动方程。式 (2)、(3)：移动后的共振频率与非线性系数。式 (4)：他们拟合时用的理想镜面力梯度，拟合给出最近距离 85.9 nm、力臂 131.0 µm。式 (5)：振幅方程。图 4 图注：Q 为 7150，四个距离，四个非线性系数，摆幅 39 nm，(b) 图驱动频率固定在 2748 Hz。正文：双稳区里两种摆幅最多相差 6 倍。我们复算了非线性系数和迟滞曲线，没有数字化实验数据。
A. Lambrecht and S. Reynaud, Casimir force between metallic mirrors, arXiv:quant-ph/9907105v2; European Physical Journal D 8, 309–318 (2000)
v2。式 (1)、(2)：理想镜面之间的 Casimir 能量与力。式 (3) 至 (6)：等离子体波长，以及力和能量的折减因子。式 (7)：热长度，室温下约几微米。式 (8)：球–平面几何下的邻近力近似。式 (14)、(15)：短距离下的斜率。第 V 节与表 (20)：金的等离子体频率 9.0 eV（等离子体波长 136 nm）、阻尼 35 meV，以及由光学数据表算出的 0.1、0.5、3 µm 处折减因子。正文：弛豫对力的影响小于 2%。我们用模型介电函数复算了渐近式和这张表。