FR32 · Casimir–Lifshitz 力

Casimir 力振子：来自真空的迟滞

Casimir 力怎样让一个微小振子拥有记忆？ 因为平板摆得越近，受到的吸引就越强。金球靠近摆动的平板时会软化它的弹簧、降低共振频率；力随间隙缩小急剧增大，大摆幅感受到的弹簧比小摆幅更软。共振曲线随之倾倒，直到同一驱动频率下有两种稳定摆幅。按 2001 年贝尔实验室装置的模型，间隙 97 纳米时摆幅约为 7 或 35 纳米，取决于金球是靠近而来还是退离而来。

把金球移向摆动的平板，看 Casimir 力把共振频率往下拉，直到两种不同的摆幅都能稳定存在。

球–板间隙 $130\,\mathrm{nm}$

Casimir 力 $72.3\,\mathrm{pN}$

共振频移 $-1.61\,\mathrm{Hz}$

球下方的摆幅 $1.94\,\mathrm{nm}$

摆动平板上方的金球

球–板间隙

130\,\mathrm{nm}

驱动频率

2748.00\,\mathrm{Hz}

镜面模型

上下拖动金球；慢慢移动才能停留在同一摆幅上。

高级：驱动强度

驱动强度（自由摆幅）

39\,\mathrm{nm}

用金球在远处、共振驱动时产生的摆幅来设定力矩。Chan 等人的迟滞测量报告为 39 nm。驱动越弱，双稳窗口越窄。

模型、单位与来源

$F(z)=2\pi R\,\eta_E(z)\left(-\frac{\pi^{2}\hbar c}{720\,z^{3}}\right),\quad R=100\,\mu\mathrm{m}$

$f_0=2753.47\,\mathrm{Hz},\quad Q=7150,\quad I=7.1\times10^{-17}\,\mathrm{kg\,m^{2}},\quad b=131.0\,\mu\mathrm{m}$

Lifshitz 能量采用 Lambrecht 与 Reynaud 的金参数。摆幅取式 5 中与上一时刻最接近的稳态根，相当于缓慢的压电扫描。吸合指力梯度超过扭转弹簧的那一点。

Chan et al. (2001), PRL 87, 211801 · Lambrecht & Reynaud (2000), Eur. Phys. J. D 8, 309

在课程中跟着推导

模型假设

装置依照 Chan 等人（2001）：扭转平板的共振频率为 2753.47 Hz，品质因数 7150；半径 100 µm 的镀金球位于 131 µm 的力臂处。球–板力取 Lifshitz 板–板能量乘以邻近力近似因子，金可选 Drude 金属、无损等离子体金属或理想镜面。振子服从 Chan 等人的式 1 与式 5，保留力的导数到三阶。忽略表面粗糙度、接触电势斑和残余静电力，因此这些数值不是对实测数据的拟合。

当前间隙的共振曲线

扫描间隙时的摆幅

三种镜面模型的共振频移

更多数值与计算方法

力梯度: $0$
板–板力与理想镜面之比: $0$
板–板能量与理想镜面之比: $0$
式 5 的非线性系数: $0$
仅用式 2 得到的频移: $0$
该驱动下的稳态摆幅数: $0$

Lifshitz 积分在虚频率与波矢上用 Gauss–Legendre 求积完成。力的二阶与三阶导数由板压强的五点差分得到，步长为间隙的 1%。迟滞轨迹以 0.25 nm 步长改变间隙，并保留与上一摆幅最接近的根。模型版本 fr32-casimir-oscillator-v1。

物理教程

让振子拥有记忆的真空力

背景两块不带电的金属表面相距不到一微米时会相互吸引。在小间隙中输运热量的那些场涨落同样携带动量，其净效果就是 Casimir–Lifshitz 力。在 100 nm 处，金球与金平板之间的这个力只有一百多皮牛，人完全感觉不到，却足以改变一根微小弹簧的振动方式。

为什么值得理解贝尔实验室的 Chan 等人做了一块镀金多晶硅平板，它靠两根扭杆摆动，并把一个镀金小球移近它的一侧。Casimir 力先让共振频率偏移，再让共振曲线弯曲，最后让振子出现双稳态：摆幅取决于小球是在靠近还是在远离。

先抓重点

核心问题: Casimir 力怎样让一个微小振子拥有记忆？
一句话直觉: 力梯度软化了扭转弹簧，把共振频率往下拉。由于间隙缩小时力急剧增大，大摆幅感受到的弹簧比小摆幅更软，共振曲线因此向低频倾斜。倾斜到一定程度后，同一个驱动频率会与曲线相交三次，其中两个摆幅是稳定的。

核心数学模型

球与平板之间的力

F(z)=2\pi R\,\eta_E(z)\,E_{\mathrm{pp}}(z),\qquad E_{\mathrm{pp}}(z)=-\frac{\pi^{2}\hbar c}{720\,z^{3}}

邻近力近似把半径为 $R$ 的球看成一叠平板对，在 $z\ll R$ 时成立。 $E_{\mathrm{pp}}$ 是两块理想镜面单位面积的能量， $\eta_E\le1$ 是真实金的 Lifshitz 修正因子，Lambrecht 与 Reynaud（2000）给出了它的数值表。

力梯度引起的共振频移

\omega_1=\sqrt{\omega_0^{2}-\frac{b^{2}F'(z)}{I}}\approx\omega_0\left[1-\frac{b^{2}F'(z)}{2I\omega_0^{2}}\right]

取 $b=131\,\mu\mathrm{m}$ 、 $I=7.1\times10^{-17}\,\mathrm{kg\,m^{2}}$ ，对 Drude 金，141 nm 处频移约 −1.2 Hz，98 nm 处约 −4.3 Hz。近似形式即 Chan 等人（2001）的式 2。当 $b^{2}F'$ 达到 $I\omega_0^{2}$ 时，弹簧再也拉不住平板，平板会吸附到球上。

弯曲共振的振幅

A^{2}\left[(\omega-\omega_1-\kappa A^{2})^{2}+\lambda^{2}\right]=\frac{\tau^{2}}{4I^{2}\omega_1^{2}},\qquad \kappa=\frac{3\beta}{8\omega_1}-\frac{5\alpha^{2}}{12\omega_1^{3}}

这是 Chan 等人的式 5。其中 $\alpha=b^{3}F''/2I$ 、 $\beta=-b^{4}F'''/6I$ 来自力的二阶和三阶导数， $\lambda$ 是阻尼率。关于 $A^{2}$ 的三次方程最多有三个正根，记忆正是由此而来。

常见难点

Casimir 力需要理想镜面

容易误解真实金属感受不到 Casimir 力，它只是一种理想化。

正确理解真实的金反射得不完美，所以力更小；在这个模型里，100 nm 附近约为理想镜面值的一半。但物理是同一个，实验测到的正是它。

迟滞意味着摩擦

容易误解摆幅依赖历史，是因为金球拖拽了平板。

正确理解模型里没有额外的摩擦。记忆来自保守力的非线性：两种稳定摆幅都能与同一驱动平衡，振子停留在先到达的那一个上。

动手实验

01
先让金球远离
选择“金球在远处”，看共振曲线图。
你会看到： 3.3 µm 时曲线是位于 2753.47 Hz 的对称峰，摆幅 39 nm，和任何弱阻尼振子一样。
02
先预测，再移近
先猜峰向哪边移动，再选择“共振被拉低”。
你会看到： 141 nm 时峰低了约 1.2 Hz，并向低频倾斜。
03
解释记忆
在固定的 2748 Hz 下运行“迟滞扫描”，观察两条轨迹。
你会看到： 靠近时摆幅一直很小，直到约 95 nm 才跳高；远离时摆幅一直很大，直到约 98 nm 才跌落。两者之间，两种稳定摆幅相差最多约六倍。

Casimir 力振子：来自真空的迟滞

让振子拥有记忆的真空力

核心数学模型

球与平板之间的力

力梯度引起的共振频移

弯曲共振的振幅

常见难点

Casimir 力需要理想镜面

迟滞意味着摩擦

动手实验

先让金球远离

先预测，再移近

解释记忆

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