跟着 Shchegrov 等人 2000 年的信，看碳化硅远看和近看的光谱为什么不同

这封信在问什么

Wolf 在 1980 年代预言，光谱可以在传播途中改变，但那种变化通常只是谱线的小幅移动。Shchegrov 等人要说明一种大得多的变化：同一个热源，近处和远处测到的光谱可以完全不同。原因不在热源的统计性质，而在倏逝波：它们在近处存在，传不到远处。

信的第一段把 Planck 谱写成模式能量乘模式密度。这句看似复述课本，其实为后文埋下伏笔：只要模式密度随位置变，光谱就随位置变。

来源：A. V. Shchegrov

按什么顺序读

第一遍先读式 (1) 和它前后的文字，再直接跳到第 1549 页的 SiC 参数和图 1。图 1 的三幅小图分别在 1000 µm、2 µm 和 0.1 µm 高度，是全文要解释的现象。

然后读式 (7)： $I(z,\omega)=\Theta\,N(z,\omega)$ 。作者自己说这是全文的转折点。它把图 1 的变化归结为局域模式密度随高度变化，形式与式 (1) 完全对应。

接着读式 (6) 和图 2，看表面波色散曲线在哪里变平；再读式 (8)，看近距离下模式密度怎样按 $z^{-3}$ 增长，在 $|1+\varepsilon|$ 最小处出现共振。最后读图 3：166 处有表面波，1 到 5 µm 之间按指数衰减；210 处没有。

式 (2) 到 (5) 是用涨落–耗散定理和 Green 张量算出能量密度的步骤。第一遍可以只记住结论：只有对面内波矢大小的那一重积分需要数值计算。第三章给出了同样结构的公式。

I(z,\omega)=\Theta(\omega,T)\,N(z,\omega),\qquad N(z,\omega)\;\xrightarrow{\;z\ll\lambda\;}\;\frac{\varepsilon''(\omega)}{|1+\varepsilon(\omega)|^{2}}\,\frac{1}{16\pi^{2}\omega z^{3}}

式 (7) 与式 (8)。

\varepsilon''

是介电函数的虚部。

来源：A. V. Shchegrov

自己算四个数

谱线位置。用第 1549 页的参数，令无损介电函数等于 $-1$ ，得 $178.74\times10^{12}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ 。信中写 178.7；课程模型在 100 nm 处的谱峰也落在 178.7。

远场低谷。信中说远场光谱在 150 到 180 之间有一个宽低谷，样品在这段几乎不发射。按角度加权的发射率在 150 处是 0.115，160 处降到最低 0.030，180 处回到 0.092，到 182.7 处是 0.19。

166 处的衰减。第二章例题由色散关系算出能量衰减长度 2.30 µm；对完整模型在 2 到 5 µm 之间拟合指数，得 2.286 µm。

高度规律。式 (8) 要求谱线处的能量密度与 $z^{-3}$ 成正比。课程模型从 100 nm 到 10 nm 增长 992 倍，与 1000 倍相差不到 1%。

这四个数都只用到信中印出的参数和公式。图中曲线的具体高度我们没有数字化，所以下面关于图的讨论只涉及谱峰在哪里、哪个峰更高这类定性特征。

来源：A. V. Shchegrov

图 1 画的是电场能量

式 (5) 算的是发射电场的能量密度，不含磁场。远场里电场和磁场各占一半；近距离下 p 偏振倏逝波的磁场很弱，几乎全是电场。0.1 µm 处的图因此和总电磁能量差别不大，2 µm 处就不同了。

课程模型在 2 µm 处分别算了两种量。只算电场时，全谱最高峰在 $71.5\times10^{12}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ ，剩余射线带里的局部峰在 176.75，高度是最高峰的 0.89。算总电磁能量时，最高峰在 62，带内局部峰在 176，只有最高峰的 0.44。两者之差是磁场能量，集中在低频一侧。

信中描述 2 µm 时说，178.7 处“浮现出一个峰”。两种算法都显示带内确实出现了局部峰，但它还不是最高的，位置也比 178.7 低 1% 左右。拿课程的 Lab 和这张图对照时，要记住 Lab 显示的是总电磁能量。

还有一处归一化的差别。把式 (8) 乘上 $\Theta$ ，再与 Joulain 等人 2005 年的式 (48) 比较，两者对 $z$ 和 $\varepsilon$ 的依赖完全相同，系数相差 4 倍。近距离下几乎全是电场能量，这个差别来自两篇文章定义谱密度的方式不同，与物理无关；我们没有逐项追查是哪几个因子。课程只比较比值和谱峰位置，不受影响。

来源：A. V. Shchegrov · K. Joulain

完整例题：0.1 µm 处谱线比 166 处亮多少

题目。只用式 (7) 和 (8)，估算 300 K、0.1 µm 高度时，178.7 处的谱密度是 166 处的多少倍，再与完整模型比较。

建模。式 (8) 里 $z$ 相同，比值只剩三项： $\varepsilon''/|1+\varepsilon|^2$ 、 $1/\omega$ 和 $\Theta$ 。

计算。第二章已算出 $\varepsilon''/|1+\varepsilon|^2$ 在 178.7 处是 7.697，在 166 处是 0.009646，比值 798。频率因子 $166/178.7=0.929$ 。 $\Theta$ 之比 0.776：178.7 处的光子能量更高，300 K 时占据得更少。三项相乘得 575。

验算。完整模型在 0.1 µm 处给出 509，比式 (8) 低 11%；在 10 nm 处给出 575，与式 (8) 一致。原因在第三章：0.1 µm 时 166 处还有不少能量不在准静态极限里，式 (8) 低估了它。

这个例题说明了读这类信的一个习惯：一个渐近式是否可用，要看它对哪个频率、在多近的距离上使用，最好找一个能直接算的比值去检验。

\frac{I(z,178.7)}{I(z,166)}=\underbrace{\frac{7.697}{0.009646}}_{798}\times\underbrace{\frac{166}{178.7}}_{0.929}\times\underbrace{\frac{\Theta(178.7)}{\Theta(166)}}_{0.776}=575

频率单位为

10^{12}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}

，温度 300 K。

来源：A. V. Shchegrov

这封信没有做什么

这是一篇理论信，没有测量。结尾只说这种光谱变化应当能在多种固体中观测到。真正的测量需要一个能把近场散射到远处的探针，探针本身也会改变它所测的场；信中的探针是一个不扰动场的理想观察点。

模型假设样品是半无限大、表面平整、介电函数局域且与温度无关。Joulain 等人后来在综述里沿用了同样的假设，并把同一套方法推广到两个物体之间的热流和 Casimir 力，也就是本课程第四到第六章的内容。

来源：A. V. Shchegrov · K. Joulain

到实验里试一试

在 Lab 里重画图 1

先预测：在 1000 µm、2 µm 和 0.1 µm 三个高度上，最强频率各在哪里？
依次选“远场光谱”“谱线浮现”“几乎单色”三个预设（高度分别为 1 mm、2 µm、100 nm），每次读出最强频率和峰值与远场峰值之比。
把结果与信中图 1 的描述对照；2 µm 时如果最高峰不在 178.7 附近，用“图 1 画的是电场能量”一节解释。

在 Lab 里重画图 3

先预测：166 和 210 两条曲线，哪一条在 1 到 5 µm 之间是直线？哪一条在 1 µm 以下增长更快？
在任一预设下看“两个频率随高度的变化”图。
用第二章的色散关系解释 166 的直线段；用式 (8) 解释 1 µm 以下两条曲线为什么都按 $z^{-3}$ 上升。

练习与解答

根据式 (8)，探针从 0.1 µm 降到 0.05 µm，谱线处的谱密度变成几倍？完整模型会比这个数大还是小？
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式 (8) 给出 $2^3=8$ 倍。完整模型在 0.1 µm 处比式 (8) 高约 0.8%，离得越近越接近式 (8)，所以从 0.1 µm 到 0.05 µm 的增长会略小于 8 倍。
信中说在 150 到 180 之间，样品“实际上是一个不辐射的源”。用 Kirchhoff 定律解释，并说明这在近场为什么不成立。
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这段频率里 $\operatorname{Re}\varepsilon<0$ ，表面几乎全反射，按角度加权的发射率最低只有 0.030。发射率等于吸收率，传播波几乎带不出能量。但材料内部的热电流一直在涨落，它们激发的倏逝波和表面波不受这个限制，只是传不到远处。探针一靠近，这些模式就被收到，同一段频率反而成了最亮的地方。
设想一种没有表面波的弱吸收材料，介电函数恒为 $4+0.4i$ 。它在远场的法向发射率是多少？近场的 $\varepsilon''/|1+\varepsilon|^2$ 是多少？这说明了信中哪一句话？
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法向反射率 $|(1-\sqrt\varepsilon)/(1+\sqrt\varepsilon)|^2=0.112$ ，发射率 0.888：半无限大的弱吸收体在远场几乎是黑的。近场因子 $0.4/(5^2+0.4^2)=0.0159$ ，很小。远场谱跟着发射率走，近场谱跟着这个因子走，两者对频率的权重不同。这正是信中所说：即使没有共振表面波，近场光谱也和远场不同，只是变化没那么剧烈。
信的最后一段说，银的模式密度在 $5.57\times10^{15}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ 处有共振，但样品温度低于 4000 K 时看不到尖峰。用第一章的 $\Theta$ 说明原因。
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300 K 时 $\hbar\omega/k_BT=142$ ， $\Theta/k_BT\approx142\,e^{-142}$ ，实际上为零。4000 K 时 $\hbar\omega/k_BT=10.6$ ， $\Theta/k_BT\approx2.6\times10^{-4}$ ，仍然很小，但近场里这一频率的模式密度要大几个数量级，二者相乘后谱峰才可能显出来。和第二章的金一样，表面模存在，缺的是热能。
为什么说式 (7) 是这封信的转折点，而不是式 (5)？
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式 (5) 是计算结果，告诉你数值是多少；式 (7) 是解释，告诉你为什么。它把近场光谱写成和 Planck 谱一样的结构，模式能量只依赖温度和频率，变化全部归到局域模式密度上。有了这一步，图 1 的变化就可以用模式的得失来理解，式 (8) 和图 3 也都是在分析这个模式密度。

来源与复算范围

A. V. Shchegrov, K. Joulain, R. Carminati and J.-J. Greffet, Near-field spectral effects due to electromagnetic surface excitations, Physical Review Letters 85, 1548–1551 (2000), HAL hal-01624761v1
HAL 存档中已发表信件的全文。式 (1)：Planck 谱等于模式能量乘模式密度。式 (2) 至 (5)：由涨落–耗散定理给出热电流，再求发射电场的能量密度。式 (6)：表面波色散关系。式 (7)、(8)：近场光谱等于模式能量乘局域模式密度，后者按高度的负三次方增长。第 1549 页给出 SiC 参数。图 1：300 K 的 SiC 上方 1000、2、0.1 µm 处的光谱，谱线位于 178.7（单位 10 的 12 次方 rad/s）。图 3：166 与 210（同一单位）处随高度的衰减。我们复算了谱线位置、高度规律和 166 处的衰减，没有数字化图中曲线。
K. Joulain, J.-P. Mulet, F. Marquier, R. Carminati and J.-J. Greffet, Surface electromagnetic waves thermally excited: radiative heat transfer, coherence properties and Casimir forces revisited in the near field, arXiv:physics/0504068v2; Surface Science Reports 57, 59–112 (2005)
2005 年 4 月 24 日 v2。第 2 节：表面波、Drude 介电函数（式 21）与 SiC 振子模型（式 22）。第 3.2 节：涨落–耗散定理与振子平均能量（式 25 至 30）。第 4.1、4.2 节：发射能量密度（式 44 至 48），发射率等于两种偏振透射系数之和的一半，以及它与 Kirchhoff 定律的关系；图 6 是 SiC 上方 100 µm、1 µm、100 nm 的光谱。第 7 节：两个半空间之间的热流（式 89 至 93）、随间隙平方反比增长的规律，以及转引自另一篇论文的图 17、18。第 8 节：由同一涨落场得到的 Casimir 力。式 45 印出的倏逝项多了一个因子 2，我们按式 48 定下系数。我们读到的文本版本里式 93 的系数排版残缺，所以只引用它与间隙平方成反比这一点。