位错偶极子与把它拉开的应力

Sandbox Physics · 2026-10-30

滑移面相距几个原子的两个异号位错，会相互拉住，停在 45 度。剪应力把它们往相反方向推，它们之间的吸引力在一定限度内把它们拉回来。这一对能抵抗的最大应力叫通过应力，

\tau_{\mathrm p}=\mu b/[8\pi(1-\nu)h]

。本章从第 2 章的位错对受力推出它，再用本实验模型的固定种子运行来检验。

回复力有一个最大值

让一个偶极子的两个滑移面相距 $h$ ，横向错开 $x$ 。外加剪应力以 $b\tau$ 的力把两个位错往两边推；第 2 章的位错对受力（异号时取反号）把它们往回拉。两者平衡，就确定了把这一对保持在某个错开量所需的应力。

函数 $g(u)$ 在 $u=1$ 处为零，那是不受载时的 45 度位置。应力增大，这一对张开到更大的 $u$ ， $g$ 随之增大，但只到一个最大值为止。令导数为零得 $u=1+\sqrt2$ ，此时两位错的连线与滑移面成 $22.5^{\circ}$ ， $g=1/4$ 。越过这个错开量，两者分得越开吸引越弱，所以能把它推到这里的应力，就能把它一路拉开。

\tau(u)=\frac{\mu b}{2\pi(1-\nu)h}\,g(u),\qquad g(u)=\frac{u\,(u^2-1)}{(u^2+1)^2},\qquad u=\frac{x}{h}

把一对异号位错保持在错开量

x

所需的外加剪应力，两滑移面相距

h

。

g'(u)=0\;\Longleftrightarrow\;u^4-6u^2+1=0\;\Longrightarrow\;u=1+\sqrt2,\quad g(1+\sqrt2)=\tfrac14

保持应力在哪里达到峰值，以及峰值的大小。

把刃位错偶极子保持在错开量

x

所需的剪应力，两滑移面相距

h

，单位为

\mu b/[2\pi(1-\nu)h]

。不受载时这一对位于

x=h

，即 45 度位置。曲线在

x=(1+\sqrt2)h

处达到峰值

1/4

，此时两者连线与滑移面成 22.5 度；应力再大就没有平衡位置，这一对被拉开。虚线标出通过应力。

来源：A. Kauffmann and D. Schliephake · X. Niu

通过应力

把 $g=1/4$ 代入保持应力，就得到下面的通过应力。它与滑移面间距成反比：滑移面相距 $2b$ 的偶极子，比相距 $4b$ 的结实一倍。取 $\nu=0.3$ ， $h=2b$ 、 $4b$ 、 $10b$ 时分别为 $0.0284\,\mu$ 、 $0.0142\,\mu$ 、 $0.00568\,\mu$ 。

应力反号时，它把这一对往另一个方向拉。错开量先减小，这一对摆过不稳定的竖直位置，到达镜像的 45 度位置，再在越过 $u=-(1+\sqrt2)$ 时被拉开，门槛仍是同一个 $\tau_{\mathrm p}$ 。函数满足 $g(1/u)=-g(u)$ ，所以一个方向上把这一对压到角度 $\varphi$ 的载荷，反过来会把它摆到 $90^{\circ}-\varphi$ 。

同一对称性在 $u=\sqrt2-1$ 处给出另一个同样高的峰，所以摆过竖直位置同样需要 $\tau_{\mathrm p}$ 。循环载荷只略高于 $\tau_{\mathrm p}$ 时，会把这一对翻到镜像位置，而在它走到远处那个峰之前，载荷就降下去了。载荷更大，这一对先翻过去，再被拉开。本实验两种情形都能看到。

\tau_{\mathrm p}=\frac{\mu b}{8\pi(1-\nu)\,h}

各向同性晶体中刃位错偶极子的通过应力。本实验把它显示为一个读数，并在加载图上画成虚线。

来源：A. Kauffmann and D. Schliephake

用数值检验这个门槛

路线基准不借助公式去找这个门槛。它取 $16$ 组固定种子的面间距和泊松比，对 45 度的偶极子施加恒定剪切，看这一对能否在 $400/\tau$ 个时间单位内分开 $12h$ 。把应力区间对半分十八次，就定出了门槛。

测得的门槛与公式之比为 $1.0061\pm0.0012$ 。这点偏高是方法本身带来的：应力刚超过 $\tau_{\mathrm p}$ 时，这一对在 $u=1+\sqrt2$ 附近几乎不受净力，只能慢慢爬过去，所以有时间上限的判据会记下比静态值略高的门槛。

来源：X. Niu

完整例题：束缚偶极子摆多远？

题目。一个偶极子的两滑移面相距 $4b$ ， $\nu=0.3$ ，载荷为 $\tau(t)=0.009\,\mu\,\sin(2\pi t/T)$ 。如果载荷变化足够慢，这一对来得及跟上，它在哪两个角度之间摆动？

通过应力。 $\tau_{\mathrm p}=1/(8\pi\times0.7\times4)\,\mu=0.01421\,\mu$ 。峰值载荷是它的 $0.009/0.01421=0.633$ 倍，所以这一对不会被拉开。

峰值时的错开量。峰值载荷下 $g(u)=0.633/4=0.158$ 。在稳定分支 $1<u<1+\sqrt2$ 上用二分法解 $u(u^2-1)/(u^2+1)^2=0.158$ ，得 $u=1.419$ ，角度为 $\arctan(1/1.419)=35.2^{\circ}$ 。反向峰值时 $u=1/1.419=0.705$ ，角度为 $54.8^{\circ}$ 。

检验。本实验的这个预设以周期 $T=8000/(\mu M)$ 加载，这一对在 $35.2^{\circ}$ 和 $54.8^{\circ}$ 之间摆动，与估计一致。加载快四倍，取 $T=2000/(\mu M)$ ，摆幅缩小到 $35.8^{\circ}$ 至 $54.6^{\circ}$ ：过阻尼的位错对跟不上载荷。这种滞后也会抬高拉开这一对所需的应力，所以本实验加载得很慢。

结论。大约在 $35^{\circ}$ 到 $55^{\circ}$ 之间，关于 $45^{\circ}$ 对称。

来源：A. Kauffmann and D. Schliephake

到实验里试一试

找出拉开偶极子的应力

选“束缚的偶极子来回摆动”。预测一个周期内，位错对夹角读数的最小值。
把循环剪切的幅值调到 0.015，略高于通过应力的读数。预测下一个峰值时会发生什么，再看结果。
选“窄偶极子挺住了”，它的幅值正是把第一个预设拉开的那个值。用通过应力解释这一对为什么挺得住。

练习与解答

证明 $g'(u)=0$ 化为 $u^4-6u^2+1=0$ ，并验证 $g(1+\sqrt2)=1/4$ 。

展开解答

求导得 $g'=[(3u^2-1)(u^2+1)-4u^2(u^2-1)]/(u^2+1)^3=-(u^4-6u^2+1)/(u^2+1)^3$ 。根为 $u^2=3\pm2\sqrt2$ ，即 $u=\sqrt2\pm1$ 。在 $u=1+\sqrt2$ 处， $u^2-1=2(1+\sqrt2)$ ， $u^2+1=2\sqrt2(1+\sqrt2)$ ，所以 $g=2(1+\sqrt2)^2/[8(1+\sqrt2)^2]=1/4$ 。

取 $\nu=0.3$ 。能经受住 $0.025\,\mu$ 剪切的偶极子，面间距最大是多少？

展开解答

解 $\mu b/[8\pi(0.7)h]=0.025\,\mu$ ，得 $h=1/(8\pi\times0.7\times0.025)\,b=2.27\,b$ 。本实验的面间距取整数，只有 $h=2b$ 挺得住；这就是那个预设能扛住把 $h=4b$ 拉开的载荷的原因。

面间距 $h=4b$ 的偶极子，泊松比从 $\nu=0$ 变到 $\nu=0.45$ ，通过应力变化多少？

展开解答

它正比于 $1/(1-\nu)$ ： $\nu=0$ 时为 $0.00995\,\mu$ ， $\nu=0.45$ 时为 $0.0181\,\mu$ ，相差 $1.82$ 倍。

用“这一对能否在固定时间内分开”做二分法，为什么得到的门槛会略高于通过应力？怎样减小这个偏差？

展开解答

应力恰好为 $\tau_{\mathrm p}$ 时，这一对停在 $u=1+\sqrt2$ ；稍高一点，那里的净力也很小，越过它所需的时间随应力逼近门槛而无限增长。有时间上限的判据会漏掉这些慢的越过过程。延长时间上限，或者直接判断是否还存在平衡位置，都能减小偏差。

来源与复算范围

A. Kauffmann and D. Schliephake, Plasticity, chapter 4c: Elastic theory of dislocations, lecture slides, Karlsruhe Institute of Technology, version 24-05-02 (2024)

24-05-02 版，全部幻灯片。第 9、10 页：线沿 $z$ 、伯格斯矢量沿 $x$ 的直刃位错的位移场和应力场，引自 Hirth 与 Lothe。第 11 页：各应力分量的分布图。第 13 页：相互作用由场的叠加得到。第 15 页：场在位错核附近截断，刃位错约在 $1.5\,b$ 处。第 23 页：单位长度上的滑移力为 $b\tau$ 。

X. Niu, Y. Zhu, S. Dai and Y. Xiang, A continuum model for distributions of dislocations incorporating short-range interactions, arXiv:1707.05161v2 (2018)

第 2 版，第 2 节“离散位错模型”。式 (2.1)：Peach–Koehler 力 $\mathbf f=(\boldsymbol\sigma\cdot\mathbf b)\times\boldsymbol\tau$ ，滑移分量为 $b\sigma_{xy}$ ，攀移分量为 $-b\sigma_{xx}$ 。式 (2.2)—(2.3)：各向同性介质中刃位错的应力场。式 (2.4)—(2.7)：对所有其他位错求和，再加上外加应力。式 (2.8)：迁移率定律 $v_{\mathrm g}=m_{\mathrm g}f_{\mathrm g}$ 。第 4 节讨论偶极墙；本课程没有用到它的连续介质结果。