Peach–Koehler 力让同号位错排成墙

由滑移做功得到的力

让单位长度的直刃位错滑移 $\delta x$。滑移面以上的晶体就在多出的面积 $\delta x$ 上滑过了 $b$。若该面上的剪应力为 $\tau$，应力做功 $\tau\,b\,\delta x$。功除以距离就是力，所以位错线单位长度受力 $b\tau$。KIT 讲义第 23 页给出了这个结论。

Peach 和 Koehler 写出的一般形式用到应力张量 $\boldsymbol\sigma$、伯格斯矢量 $\mathbf b$，以及沿位错线的单位矢量 $\boldsymbol\xi$。取刃位错的线沿 $z$、$\mathbf b$ 沿 $x$。这个力沿 $x$ 的分量是滑移力，由剪应力决定；沿 $y$ 的分量是攀移力，由 $\mathbf b$ 方向上的正应力决定。

来源：A. Kauffmann and D. Schliephake · X. Niu

只滑移，不攀移

滑移时，位错只需要重排核心旁边的键。攀移则要让多出的半原子面变长或变短，这得靠空位或间隙原子扩散过来。温度低时，这通常比滑移慢得多，所以本实验冻结攀移，每个位错只能沿自己的滑移面运动。

本实验按 Niu 等人的式 (2.8) 把运动当作过阻尼的：速度与受力成正比，比例系数是迁移率 $M$。每个位错感受到的是外加剪应力，加上所有其他位错在它所在位置产生的剪应力。符号 $s_i=\pm1$ 记录伯格斯矢量的朝向，所以外加应力把异号位错推向相反方向。本实验以 $\mu$ 为应力单位、$b$ 为长度单位、$1/(\mu M)$ 为时间单位。

来源：X. Niu

平行滑移面上的两个位错

把一个位错放在原点，另一个放在高度为 $h$ 的平行滑移面上，横向错开 $x$。第二个位错受的滑移力，等于它的伯格斯矢量乘以第一个位错在该处的剪应力。因子 $x(x^2-h^2)$ 在三个位置为零：正上方 $x=0$，以及 45 度方向 $x=\pm h$。

同号时 $s_1s_2=1$，在 $0<x<h$ 力为负，在 $x>h$ 力为正。稍微偏离竖直方向的位错会被拉回 $x=0$；稍微越过 45 度的会被推开。同号位错上下叠放因此是稳定的，45 度是不稳定的。异号时所有的力都反向：竖直叠放变得不稳定，这一对停在 45 度。

两个位错受的力大小相等、方向相反，因为把这一对整体平移不会改变它们的相对位置。两者同时朝稳定排布滑去。

来源：A. Kauffmann and D. Schliephake · X. Niu

同号位错砌成一面墙

等间距滑移面上的若干同号位错会一直滑，直到一个叠在另一个正上方。每个位错带来一个多出的半原子面，于是这一列两侧的晶格相对倾转。滑移面相距 $h$ 时，倾角约为 $b/h$ 弧度。这就是小角倾转晶界，最简单的一种晶界；后面几章再讨论大角度的晶界。

路线基准在没有外加应力的条件下，让一批固定种子的位错对弛豫。同号对最后停在 $90.000^{\circ}$，异号对停在 $45.000^{\circ}$，标准误都在 $10^{-15}$ 度上下。

来源：A. Kauffmann and D. Schliephake

完整例题：每个位错往哪边走？

题目。两个同号刃位错位于相距 $4b$ 的滑移面上，上方的相对下方的错开 $2b$。取 $\nu=0.3$。求每个位错所受的滑移力和攀移力，并说明没有外加应力时这一对会怎样运动。

上方位错。第 1 章已经算出下方位错在 $(2b,4b)$ 处的剪应力：$\sigma_{xy}=-0.0136\,\mu$。滑移力 $f_{\mathrm g}=b\sigma_{xy}=-0.0136\,\mu b^2$，指向 $x$ 减小的方向，也就是朝竖直位置。

下方位错。从上方位错看，它位于 $(-2b,-4b)$。公式里两个含 $x$ 的因子同时变号，所以 $\sigma_{xy}=+0.0136\,\mu$，$f_{\mathrm g}=+0.0136\,\mu b^2$：大小相等、方向相反，同样朝竖直位置。

上方位错的攀移力。$\sigma_{xx}=-0.2274\,\mu b\,y(3x^2+y^2)/(x^2+y^2)^2=-0.2274\times4\times28/400\,\mu=-0.0637\,\mu$，所以 $f_{\mathrm c}=+0.0637\,\mu b^2$。它差不多是滑移力的五倍，但攀移被冻结，本实验不考虑它。

结论。这一对一起滑动，直到上下对齐于 $x=0$，这是同号位错的稳定排布。起始错开量小于 $h$，这一对全程都待在 45 度以内的稳定一侧。

来源：X. Niu