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Sandbox Physics
晶体缺陷与显微组织

L2 · 第 4 章

晶界靠曲率移动，圆形晶粒因此匀速缩小

Sandbox Physics ·

把由许多小晶体组成的金属加热，晶体会长大：小的消失，晶界变直。没有外力推晶界。晶界之所以移动，是因为晶界长度要付出能量，弯曲的晶界朝曲率中心移动就能降低能量。对圆形晶粒，结果出人意料：不管多大，它的面积都以恒定速率 2πMγ2\pi M\gamma 减小。本章从本实验运行的相场模型推出这个规律，再测量本实验的网格离它有多近。

晶界要付出能量，曲率驱动它移动

两个取向不同的晶体相接处，原子哪个晶格都坐不进去，所以晶界带有能量，在二维中是单位长度 γ\gamma。晶界变短，能量就降低。直的晶界怎么移动都不会变短，弯的可以：朝曲率中心移动就会变短。

最简单的动力学规律让速度正比于驱动力；对能量为 γ\gamma、曲率为 κ\kappa 的晶界，单位面积上的驱动力是 γκ\gamma\kappa。迁移率为 MM 时，速度就是 MγκM\gamma\kappa。半径为 RR 的圆形晶粒曲率为 1/R1/R，越小半径缩得越快。面积却以恒定速率减小，因为更快的运动只作用在更短的周长上。

v=Mγ κ⟹dRdt=−MγR,dAdt=2πR dRdt=−2πMγv=M\gamma\,\kappa\quad\Longrightarrow\quad \frac{dR}{dt}=-\frac{M\gamma}{R},\qquad \frac{dA}{dt}=2\pi R\,\frac{dR}{dt}=-2\pi M\gamma
曲率驱动的运动，以及它对面积 A=πR2A=\pi R^2 的圆形晶粒意味着什么。

来源：J. K. Mason · A. Kazaryan

每个晶粒一个序参量

Kazaryan、Wang、Dregia 和 Patton 用每个取向一个场 ηi\eta_i 来描述多晶。在晶粒 ii 内部 ηi=1\eta_i=1，其余为零；穿过晶界时，一个场下降，另一个场上升。每个场沿自由能的梯度弛豫，即式 (1)。自由能式 (2) 在体自由能密度 ff 上加了系数为 kk 的梯度项，ff 在每个纯晶粒处都有极小值。

他们的式 (5) 取 a1=a2=1a_1=a_2=1、a3=2a_3=2，体自由能密度写在下面。交叉项惩罚同一点上两个场都很大的情形，所以晶粒不会重叠。本实验给每个晶粒一个独立的场，两个晶粒不会因为共用编号而合并；每个格点只存最大的四个场。

∂ηi∂t=−L δFδηi,F=∫[f(η1,…,ηp)+k2∑i(∇ηi)2]d2r\frac{\partial\eta_i}{\partial t}=-L\,\frac{\delta F}{\delta\eta_i},\qquad F=\int\Bigl[f(\eta_1,\dots,\eta_p)+\frac{k}{2}\sum_i(\nabla\eta_i)^2\Bigr]d^2r
每个序参量以迁移率 LL 做 Allen–Cahn 弛豫（Kazaryan 等，式 1—2）。
f=∑i(−ηi22+ηi44)+∑i∑j>iηi2ηj2f=\sum_i\Bigl(-\frac{\eta_i^2}{2}+\frac{\eta_i^4}{4}\Bigr)+\sum_i\sum_{j>i}\eta_i^2\eta_j^2
本实验使用的体自由能密度，即 Kazaryan 等的式 (5)，参数取他们的值。

来源：A. Kazaryan

从相场到曲率驱动的运动

在平缓弯曲的晶界附近，用沿法向的坐标 nn 写拉普拉斯算子，它分成穿过晶界的二阶导数和一个曲率项。平直的平衡剖面已经让体自由能的力与二阶导数项相互抵消，只剩下曲率项。

剩下的这一项等于 LkκLk\kappa 乘以剖面的斜率。一个以速度 vv 沿法向滑动的剖面，变化率正好是 vv 乘以斜率，所以晶界以 v=Lkκv=Lk\kappa 移动，体自由能密度不出现在结果里。与尖锐界面的规律对比，得到 Mγ=LkM\gamma=Lk；孤立晶粒按 dA/dt=−2πLkdA/dt=-2\pi Lk 缩小，这就是 Kazaryan 等对各向同性晶界写出的式 (6)。

∇2η=∂n2η+κ ∂nη⟹∂tη=Lkκ ∂nη⟹v=Lk κ,Mγ=Lk\nabla^2\eta=\partial_n^2\eta+\kappa\,\partial_n\eta\quad\Longrightarrow\quad \partial_t\eta=Lk\kappa\,\partial_n\eta\quad\Longrightarrow\quad v=Lk\,\kappa,\qquad M\gamma=Lk
弯曲晶界附近剩下的曲率项，可以读成一个移动的剖面。

来源：A. Kazaryan

网格离这个规律有多近？

路线基准在 128128 乘 128128 的网格上、取 L=k=1L=k=1，让圆形晶粒缩小，并在面积从起始值的 0.90.9 降到 0.250.25 期间做直线拟合。速率除以 2πLk2\pi Lk，起始半径为 2020、3030、4040 时分别是 0.9560.956、0.9530.953、0.9520.952。速率与大小无关，和规律一致，但慢了约 5%5\%。

增大 kk 会让晶界变宽，跨过更多格点。半径按同样的倍数放大后，这些运行相当于同一个问题换了更细的网格。比值在 k=2k=2 时升到 0.9780.978，在 k=4k=4 时升到 0.9900.990。kk 每翻一倍，差距减半；晶界宽度按 k\sqrt k 增长时，二阶精度的离散正该如此。这个差距是网格误差，晶界分辨得越细，它越小。

来源：A. Kazaryan

完整例题：本实验里的孤立晶粒能撑多久？

题目。本实验的孤立晶粒预设放入半径 4040 格的圆形晶粒，L=k=1L=k=1。按尖锐界面的规律，它什么时候消失？在本实验的网格上呢？

按规律。面积为 π×402=5027\pi\times40^2=5027 格，每单位时间减少 2π=6.2832\pi=6.283 格，所以能撑 R02/(2Lk)=1600/2=800R_0^2/(2Lk)=1600/2=800 个时间单位。

本实验网格。测得的速率是规律值的 0.9520.952 倍，所以能撑 800/0.952=840800/0.952=840 个时间单位。

检验。寿命过半时半径是 R0/2=28.3R_0/\sqrt2=28.3 格，而不是 2020 格；面积匀速减小，意味着半径开始缩得慢，最后缩得快。

结论。按规律 800800 个时间单位，在本实验网格上约 840840。

来源：A. Kazaryan

到实验里试一试

给缩小的圆形晶粒计时

  1. 选“圆形晶粒匀速缩小”。预测孤立晶粒的面积是沿直线下降还是沿曲线下降，以及它能撑多久。
  2. 重置，把晶界迁移率加倍到 2。预测新的寿命，再观察。
  3. 选“大晶粒吞并邻居”。解释为什么单独的圆形晶粒总在缩小，而被小晶粒包围的大晶粒却能长大。

练习与解答

  1. 取 L=1L=1、k=2k=2，起始半径为 3030 的圆形晶粒按规律能撑多久？在网格上呢？

    展开解答

    按规律 R02/(2Lk)=900/4=225R_0^2/(2Lk)=900/4=225 个时间单位。k=2k=2 时基准比值为 0.9780.978，所以网格上约 230230。

  2. 本实验用显式欧拉法推进场。九点拉普拉斯算子最负的本征值为 −16/3-16/3，体自由能项再加上最多 22 的曲率，所以只有 LΔt (16k/3+2)<2L\Delta t\,(16k/3+2)<2 时才稳定。默认的 Δt=0.1\Delta t=0.1 在 L=k=2L=k=2 时稳定吗？

    展开解答

    上限是 Δt<2/[2×(32/3+2)]=0.079\Delta t<2/[2\times(32/3+2)]=0.079，所以 0.10.1 不稳定。默认步长超过上限时，本实验取上限的 0.80.8 倍，即 Δt=0.063\Delta t=0.063。

  3. 两个大晶粒之间的平直晶界，不管两侧取向差多大，在这个模型里都不动。为什么？

    展开解答

    它的曲率为零，所以 v=Lkκ=0v=Lk\kappa=0。在各向同性模型里，驱动力只来自曲率；两侧晶粒的储存能之差本可以推动平直晶界，但模型没有包含它。

来源与复算范围

  1. A. Kazaryan, Y. Wang, S. A. Dregia and B. R. Patton, Generalized phase field model for computer simulation of grain growth in anisotropic systems, arXiv:cond-mat/9912044v1 (1999)

    第 1 版，全文。式 (1)：每个序参量一条 Allen–Cahn 方程。式 (2)：带梯度项的自由能。式 (5)：体自由能密度，取 a1=a2=1a_1=a_2=1、a3=2a_3=2。式 (6) 与图 3：孤立晶粒的面积以恒定速率减小。结尾几段与图 5：平均晶粒面积随时间线性增长。本课程只用各向同性的情形。

  2. J. K. Mason, E. A. Lazar, R. D. MacPherson and D. J. Srolovitz, Geometric and topological properties of the canonical grain growth microstructure, arXiv:1507.03379v1 (2015)

    第 1 版。第 II 节式 (1)：冯·诺依曼–马林斯关系 dA/dt=−2πMγ(1−n/6)dA/dt=-2\pi M\gamma(1-n/6)，对各向同性的二维晶粒长大严格成立。第 III A 1 节与图 4(a)：每个晶粒边数的分布，以及欧拉定理把平均边数固定为六。

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