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Sandbox Physics
晶体缺陷与显微组织

L4 · 第 7 章

读 Karma 2001 的合金相场论文，并复现其中的枝晶图

Sandbox Physics ·

Karma 在 2001 年的这篇短文中提出：加一股溶质流，稀合金相场模型就能用足以算出枝晶的宽界面，同时界面处仍满足局部平衡。证据是两张图里的收敛检验。本章带你一边开着本实验，一边读这篇论文：每个结论在哪里，这两张图能说明什么、不能说明什么，复现时哪些要自己选，以及我们的运行与哪些数值吻合。

一段话说清结论

早先的合金相场模型，为了避免虚假的截留、表面扩散和界面拉伸，界面不能比毛细长度厚多少，因此模拟慢速生长代价太高。Karma 加入反截留流，并选好插值函数，让这三个效应在薄界面极限下全部消失，模型于是回到带局部平衡的经典自由边界问题。支持这个结论的有两样：一段薄界面分析的梗概，以及二维枝晶模拟：界面宽度改变时，模拟的尖端速度和溶质剖面保持不变。

来源：A. Karma

先看哪里

短文前半部分，式 (1)—(12)，讨论液相线与固相线平行的理想合金，说明这股流怎样消除化学势跳变，并给出常数 a1a_1 和 a2a_2。稀合金从式 (13) 开始：式 (13)—(15) 是要逼近的尖锐界面问题，式 (16)—(18) 是模型，式 (20) 是插值函数，式 (22) 是四重各向异性。

结尾附近有一段，列出了复现所需的全部数字：Δx=0.4\Delta x=0.4、Δt=0.008\Delta t=0.008、W=τ=1W=\tau=1、ϵ4=0.02\epsilon_4=0.02、k=0.15k=0.15、Ω=0.55\Omega=0.55，以及半径 22 d022\,d_0 的晶核。图 1 画出两种模型在 d0/W=0.277d_0/W=0.277 和 0.5440.544 下尖端速度 Vd0/DVd_0/D 随 tD/d02tD/d_0^2 的变化。图 2 画出沿枝晶轴留在固相中的溶质。薄界面推导本身，文中说将另文发表；Echebarria 等人在 2004 年发表了它。

来源：A. Karma · B. Echebarria

论文怎样检验收敛

枝晶没有精确解可以对照。Karma 改为让每个模型在两种界面宽度下各跑一次：如果模型已经到达薄界面极限，两条曲线就必须重合。Karma 的新模型（下文称反截留模型）通过了检验，两个比值下的速度和溶质剖面都重合。标准模型没有通过，溶质剖面最明显，即使在较细的比值下也远未收敛。

另一个独立的检验是自洽性。用运行中测得的尖端半径 ρ\rho，局部平衡可以预测尖端后方固相应含多少溶质。Karma 报告，反截留模型与预测相差在百分之几以内。再看代价的论证意味着什么：d0/Wd_0/W 减半，一次运行便宜约 3232 倍，所以收敛检验同时也在检验网格能粗到什么程度。

V d0D∣d0/W=0.277  =?  V d0D∣d0/W=0.544,cs(x)cl0  =?  k[1−(1−k)d0ρ]V\,\frac{d_0}{D}\Big|_{d_0/W=0.277}\;\overset{?}{=}\;V\,\frac{d_0}{D}\Big|_{d_0/W=0.544},\qquad \frac{c_s(x)}{c_l^0}\;\overset{?}{=}\;k\Bigl[1-(1-k)\frac{d_0}{\rho}\Bigr]
图 1 和图 2 背后的两项检验：两种界面宽度之间相互吻合，以及固相浓度与按测得尖端半径算出的局部平衡值吻合。
cost∝(d0W)5:cost(0.544)cost(0.277)≈25=32\text{cost}\propto\Bigl(\frac{d_0}{W}\Bigr)^{5}:\qquad \frac{\text{cost}(0.544)}{\text{cost}(0.277)}\approx2^5=32
Karma 对一次运行的代价如何随毛细长度与界面宽度之比增长的估计。

来源：A. Karma

哪些要自己选

短文没有给出方盒大小、边界条件、晶核位置，也没说尖端速度和半径怎样测量。我们的运行只算晶体的四分之一：晶核放在角上，边界取镜像，方盒边长 128 W128\,W，在较粗的比值下相当于 462 d0462\,d_0。尖端取在轴线上 ϕ\phi 过零处；半径由轴线附近四行上零等值线拟合的抛物线给出；速度在 50005000 到 6000 d02/D6000\,d_0^2/D 之间取平均。

图 1 和图 2 只以曲线给出数值，所以下面每个参照数都是我们目测读出的，速度约精确到 0.0010.001，浓度约精确到 0.0050.005。溶质平台在曲线平坦的 150150 到 400 d0400\,d_0 之间读取。

来源：A. Karma

完整例题：在较粗的比值下复现图 1 和图 2

题目。在 Karma 的网格上，以 d0/W=0.277d_0/W=0.277 运行两种模型，把平台速度和固相浓度与他的图比较。

反截留模型。尖端速度为 0.01800.0180，图 1 约为 0.0180.018。固相平台为 0.1447 cl00.1447\,c_l^0，图 2 约为 0.1450.145。尖端半径 21.3 d021.3\,d_0，局部平衡据此预测 0.1440.144，运行的自洽程度在 0.5%0.5\% 以内。

标准模型。尖端以 0.02440.0244 前进，图上约为 0.0250.025。固相含 0.2247 cl00.2247\,c_l^0，图上约为 0.2250.225；峰值 0.31850.3185 出现在 50 d050\,d_0，图上约 0.3150.315，也在 50 d050\,d_0 附近。尖端半径为 16.9 d016.9\,d_0，局部平衡预测 0.1420.142，所以这里的固相多含了 58%58\%。

较细的比值，较粗的网格。d0/W=0.544d_0/W=0.544 我们只在 Δx=0.8\Delta x=0.8 的网格上运行，网格间距是 Karma 的两倍。标准模型的固相平台为 0.1810.181，图上约为 0.1830.183；峰值 0.2620.262 在 30 d030\,d_0，图上约 0.2650.265，在 27 d027\,d_0 附近。反截留模型的速度为 0.01660.0166，比图上低 8%8\%；在这个网格上速度没有收敛。

结论。在 Karma 的网格上、d0/W=0.277d_0/W=0.277 时，两种模型都在读数误差内复现了图中的值；反截留模型与局部平衡自洽，标准模型则在固相中留下过多溶质。

来源：A. Karma

这次复现没有说明什么

这些都是确定性的单次运行，没有种子间的离散可报；基准文件中的离散只是平均时间窗内的起伏。参照值是目测读数，不是论文给出的数字。较细的比值没有在 Karma 的网格上重跑，他的收敛检验本身因此没有复现。复现的是较粗的那一半，外加较细那一半在粗网格上的一次考察。

为了能交互运行，本实验在 Δx=0.8\Delta x=0.8 的网格上跑较粗的比值。那里尖端速度为 0.01610.0161，比 Karma 网格上慢 11%11\%，而固相仍含 0.1446 cl00.1446\,c_l^0。溶质分配经得起粗网格，尖端选择经不起。这里没有与任何实验比较，也没有重新推导薄界面渐近分析，后者 Echebarria 等人给出了完整推导。运行是二维的、等温的，不含噪声。

来源：A. Karma · B. Echebarria

到实验里试一试

把本实验和图 1 对照

  1. 选“四臂枝晶”，让它长。先按图 1，再按本实验较粗网格的路线基准，预测运行后期尖端速度的读数。
  2. 把界面模型切换为“标准模型，无反截留流”。预测尖端速度和溶质读数相对 Karma 的标准模型曲线会往哪里走。
  3. 解释为什么收敛的模型在两种界面宽度下必须给出相同的曲线，以及为什么本实验的粗网格能让尖端变慢，却几乎不改变溶质读数。

练习与解答

  1. 在以 WW 和 τ\tau 为单位、网格间距和时间步长固定的条件下，解释 Karma 关于运行代价按 (d0/W)5(d_0/W)^5 增长的估计。

    展开解答

    方盒以 d0d_0 为单位固定，所以边长方向的格点数按 d0/Wd_0/W 增长，二维格点数按 (d0/W)2(d_0/W)^2 增长。以 τ\tau 为单位的时间单位 d02/Dd_0^2/D 等于 (d0/W)2/(a2a1W/d0)(d_0/W)^2/(a_2a_1W/d_0)，按 (d0/W)3(d_0/W)^3 增长，步数也一样。两者相乘，按 (d0/W)5(d_0/W)^5 增长。

  2. 对同样的方盒和时间，本实验的网格 Δx=0.8\Delta x=0.8、Δt=0.032\Delta t=0.032 比 Karma 的便宜多少？精度上付出了什么？

    展开解答

    格点少四倍，步数也少四倍，大约便宜 1616 倍。尖端速度降低 11%11\%，为 0.01610.0161；固相浓度仍为 0.1450.145。

  3. 两条曲线在两种界面宽度下重合。这证明了模型的什么，又没证明什么？

    展开解答

    它说明结果已经不依赖界面宽度，这正是薄界面极限所承诺的。它不说明结果与实验相符，也不说明结果没有与宽度无关的误差，比如以毛细长度计的网格间距、方盒大小，或者各向异性的离散方式。用独立预测做的局部平衡检验因此才重要。

来源与复算范围

  1. A. Karma, Phase-field formulation for quantitative modeling of alloy solidification, arXiv:cond-mat/0103289v1 (2001)

    第 1 版，全文。式 (16)—(18) 与 (22)：含反截留流的等温稀合金模型。式 (19)—(20)：平衡剖面，以及消除表面扩散的 q(ϕ)q(\phi) 取法。参数段落：Δx=0.4\Delta x=0.4、Δt=0.008\Delta t=0.008、k=0.15k=0.15、Ω=0.55\Omega=0.55、ϵ4=0.02\epsilon_4=0.02、a1=0.8839a_1=0.8839、a2=0.6267a_2=0.6267，晶核半径 22 d022\,d_0。图 1：尖端速度随时间的变化。图 2：沿枝晶轴固相中的溶质。

  2. B. Echebarria, R. Folch, A. Karma and M. Plapp, Quantitative phase-field model of alloy solidification, arXiv:cond-mat/0404164v2 (2004)

    第 2 版。第 I B 节，式 (2)：界面厚度取介观尺度时，溶质截留、表面扩散和界面拉伸都与 WW 成正比地放大。第 I D 节：把反截留流作为非变分的修正。第 I E 节，式 (7)—(13)：完整模型，式 (10) 的反截留流，系数 a=1/(22)a=1/(2\sqrt2)，以及 d0=a1W/λd_0=a_1W/\lambda 和式 (13) 的 β\beta。第 II A 节，式 (17)—(21)：等温生长的尖锐界面问题，包括 Stefan 条件和 Gibbs–Thomson 关系。第 IV 节给出薄界面分析；本课程只略读，没有重新推导。

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