伯格斯矢量与刃位错的应力场

多出来的半个原子面

沿一个平面把晶体切开，把切口一侧推动一个原子间距，再粘回去。切口在晶体内部终止的地方，晶格对不上了：这条线上方比下方多出半个原子面。这条线就是刃位错。离它远的原子，邻居都和平常一样；靠近它的地方，晶格被弯曲和拉伸。

位错沿切面移动一个间距时，只有紧挨着这条线的键重新排列。等它扫过整块晶体，上半部分相对下半部分滑移了一个间距，结果和整体滑动相同，所需应力却小得多。位错线在其中运动的平面叫滑移面。

绕不回原点的回路

绕位错线画一个由晶格步长组成的回路，比如右四步、上四步、左四步、下四步。在完美晶体中这样走一圈会回到起点；绕着位错走，终点离起点还差一个晶格矢量。这个缺口就是伯格斯矢量 $\mathbf b$ 。刃位错的伯格斯矢量垂直于位错线，螺位错的平行于位错线。

在弹性理论里，同一件事写成位移梯度绕位错一圈的积分。位移本身在切面两侧跳变 $\mathbf b$ ，但它的梯度，也就是应变，在位错核之外是连续的。只要回路绕位错线一圈，积分结果就与它走哪条路无关。

\oint_C \frac{\partial\mathbf u}{\partial s}\,ds=\mathbf b

连续介质形式的伯格斯回路。

C

是绕位错线一圈的任意曲线，

s

是沿它的弧长；不包住位错线的回路，积分为零。

来源：A. Kauffmann and D. Schliephake

直刃位错的 Volterra 场

在剪切模量为 $\mu$ 、泊松比为 $\nu$ 的各向同性晶体中，让位错线沿 $z$ ，伯格斯矢量沿 $x$ 。满足平衡、并在半平面 $x<0$ 两侧跳变 $b$ 的位移如下式； $\theta$ 是极角，它跳变 $2\pi$ ，正好给出这个缺口。

求导再用胡克定律，就得到应力。各分量都按距离的一次方反比衰减；与滑移面平行的面上的剪应力在 $x=0$ 和 $x=\pm y$ 这些线上变号，所以有四瓣。滑移面上方是多出的半原子面所在之处， $\sigma_{xx}$ 为压应力；下方为拉应力。

在离位错线几个伯格斯矢量以内，应变不再是小量，这些公式失效。KIT 讲义估计刃位错的截断半径约为 $1.5\,b$ 。本实验在离每个位错核一个伯格斯矢量以内截断场，并把原子画在位移后的位置上，所以多出来的半原子面一眼就能看到。

u_x=\frac{b}{2\pi}\Bigl[\theta+\frac{xy}{2(1-\nu)(x^2+y^2)}\Bigr],\qquad u_y=-\frac{b}{8\pi(1-\nu)}\Bigl[(1-2\nu)\ln(x^2+y^2)+\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\Bigr]

各向同性晶体中直刃位错的位移（平面应变）。

\sigma_{xy}=\frac{\mu b}{2\pi(1-\nu)}\,\frac{x(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2},\qquad \sigma_{xx}=-\frac{\mu b}{2\pi(1-\nu)}\,\frac{y(3x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^2}

它在滑移面上的剪应力，以及沿伯格斯矢量方向的正应力。

来源：A. Kauffmann and D. Schliephake · X. Niu

完整例题：两个邻近点上的剪应力

题目。取 $\nu=0.3$ 。原点处的刃位错在 $(4b,2b)$ 和 $(2b,4b)$ 两点产生的剪应力 $\sigma_{xy}$ 各是多少？

前置系数。 $1/[2\pi(1-\nu)]=1/(2\pi\times0.7)=0.2274$ ，于是 $\sigma_{xy}=0.2274\,\mu b\,x(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2$ 。

第一点。 $x(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2=4\times12/20^2=0.12/b$ ，所以 $\sigma_{xy}=0.0273\,\mu$ 。

第二点。 $2\times(4-16)/20^2=-0.06/b$ ，所以 $\sigma_{xy}=-0.0136\,\mu$ 。两点离位错核一样远，应力却符号相反、大小不同，因为第二点越过了 $x=y$ 这条线。

检验。本实验的颜色标尺从 $-0.04\,\mu$ 到 $+0.04\,\mu$ ，两点都落在范围内。路线基准沿 $24$ 个固定种子的圆做位移梯度的数值积分：包住位错核的 12 个圆，缺口与 $b$ 相差不超过 $2.5\times10^{-11}\,b$ ；没包住的 12 个，缺口不超过 $1.3\times10^{-11}\,b$ 。对数值应变用胡克定律，重现应力公式的相对误差在 $1.5\times10^{-8}$ 以内。

结论。 $(4b,2b)$ 处为 $0.0273\,\mu$ ， $(2b,4b)$ 处为 $-0.0136\,\mu$ 。

来源：A. Kauffmann and D. Schliephake · X. Niu

到实验里试一试

找出剪应力的四瓣

选“束缚的偶极子来回摆动”并暂停。先预测：上方位错周围四瓣中，颜色图会把哪两瓣显示为正剪应力？
沿虚线滑移面横向拖动上方的位错。看这四瓣是跟着它走，还是固定在晶体里不动。
把它拖到搭档所在的滑移面上再松开。用伯格斯回路解释：为什么两者相遇后，周围的晶格恢复完整。

练习与解答

取 $\nu=0.3$ 。刃位错在自己的滑移面上、 $x=10\,b$ 处产生多大的剪应力？

展开解答

在 $y=0$ 上公式化为 $\sigma_{xy}=\mu b/[2\pi(1-\nu)x]$ 。代入 $x=10\,b$ ，得 $0.2274\,\mu/10=0.0227\,\mu$ 。

一个伯格斯回路同时包住两个伯格斯矢量相反的刃位错。它的缺口是多少？这说明远离这对位错处的应变怎样？

展开解答

两个缺口相加， $\mathbf b+(-\mathbf b)=\mathbf 0$ ，回路回到起点。远处两个场在主导阶相互抵消，应变比距离的一次方反比衰减得更快。

刃位错单位长度的弹性能为 $\mu b^2\ln(R/r_0)/[4\pi(1-\nu)]$ 。取 $R=1000\,b$ 、 $r_0=1.5\,b$ 、 $\nu=0.3$ 算出它，并说明结果为什么依赖 $R$ 。

展开解答

$\ln(1000/1.5)=6.50$ ，能量为 $6.50/(4\pi\times0.7)\,\mu b^2=0.739\,\mu b^2$ （单位长度）。场按距离一次方反比衰减，能量密度就按平方反比衰减，对面积积分后按对数增长。外截断 $R$ 由其他位错的间距决定，必须写进结果。

来源与复算范围

A. Kauffmann and D. Schliephake, Plasticity, chapter 4c: Elastic theory of dislocations, lecture slides, Karlsruhe Institute of Technology, version 24-05-02 (2024)

24-05-02 版，全部幻灯片。第 9、10 页：线沿 $z$ 、伯格斯矢量沿 $x$ 的直刃位错的位移场和应力场，引自 Hirth 与 Lothe。第 11 页：各应力分量的分布图。第 13 页：相互作用由场的叠加得到。第 15 页：场在位错核附近截断，刃位错约在 $1.5\,b$ 处。第 23 页：单位长度上的滑移力为 $b\tau$ 。

X. Niu, Y. Zhu, S. Dai and Y. Xiang, A continuum model for distributions of dislocations incorporating short-range interactions, arXiv:1707.05161v2 (2018)

第 2 版，第 2 节“离散位错模型”。式 (2.1)：Peach–Koehler 力 $\mathbf f=(\boldsymbol\sigma\cdot\mathbf b)\times\boldsymbol\tau$ ，滑移分量为 $b\sigma_{xy}$ ，攀移分量为 $-b\sigma_{xx}$ 。式 (2.2)—(2.3)：各向同性介质中刃位错的应力场。式 (2.4)—(2.7)：对所有其他位错求和，再加上外加应力。式 (2.8)：迁移率定律 $v_{\mathrm g}=m_{\mathrm g}f_{\mathrm g}$ 。第 4 节讨论偶极墙；本课程没有用到它的连续介质结果。