冯·诺依曼–马林斯定律说，少于六条边的晶粒会缩小

数一数绕晶粒一圈转了多少

晶粒面积变化多快，取决于边界向内扫得多快，也就是法向速度沿边界积一圈。在曲率驱动下，这个积分等于 $-M\gamma$ 乘以边界的总曲率。

绕晶粒走一圈，你的方向一共转过 $2\pi$。一部分转角平滑地分布在各条边上，其余的发生在角上，也就是三叉晶界处。三条能量相同的晶界相交时，只有夹角都是 $120^{\circ}$，三个张力才平衡，所以每到一个角，方向就跳转 $\pi/3$。$n$ 边形晶粒在角上共转 $n\pi/3$，留给平滑部分的是 $2\pi-n\pi/3$。

结果就是 Mason、Lazar、MacPherson 和 Srolovitz 的式 (1)，对每个晶粒都成立，与大小和形状无关。六边形晶粒的边平均是直的，面积不变。用第 4 章的 $M\gamma=Lk$，面积变化率对 $n-6$ 的斜率以 $Lk$ 为单位是 $\pi/3=1.0472$。

来源：J. K. Mason

六既是分界线，也是平均值

周期方盒里的二维晶粒网络，是环面上的一张地图，有 $V$ 个角、$E$ 条边、$F$ 个晶粒，欧拉公式给出 $V-E+F=0$。每个角连三条边，每条边有两个端点，所以 $3V=2E$。每条边与两个晶粒相邻，所以各晶粒的边数之和为 $2E$。合起来，平均边数恰好是六，Mason 等的第 III A 1 节也指出了这一点。

这两个事实是相互配合的。把定律对所有晶粒求和，总速率正比于 $n-6$ 之和，它等于零，所以总面积守恒。边少的晶粒缩小、消失，它们的面积转给边多的晶粒。每消失一个，晶粒数就少一个，平均面积随之增大。Kazaryan 等报告：一旦组织在各个尺度上看起来都一样，平均面积就随时间线性增长。

来源：J. K. Mason · A. Kazaryan

在模拟的多晶中测量这条定律

路线基准在 $160$ 乘 $160$ 的网格上、取 $L=k=1$，让三个固定种子、各 $80$ 个晶粒的多晶长到时间 $1000$。它数出每个晶粒的邻居；在边数不变的时间窗内，记下每个晶粒面积变了多少；再把速率对 $n-6$ 做一条过原点的直线拟合。三个种子分别得到 $3620$、$3710$、$4000$ 个样本。

三个种子拟合出的斜率为 $1.0704\pm0.0007$（以 $Lk$ 为单位），预测值为 $\pi/3=1.0472$。图中能看出多出来的部分从哪里来。五边形晶粒以 $-1.045$ 缩小，落在规律上。七条边及以上的晶粒，长得比规律快 $3\%$ 到 $6\%$；六边形晶粒平均以 $+0.035$ 长大，而不是保持不动。平均边数为 $5.979\pm0.004$，不是恰好六。

后两个数指向一个可能的原因，我们还没有检验。两个晶粒至少共享两个格面才算邻居，所以很短的边可能被漏掉。七边形晶粒被数成六边形，就会抬高六边形的平均速率；边多的晶粒藏着短边的机会更多，偏差随 $n$ 增大，斜率因此变陡。直接数三叉晶界可以检验这个解释。在那之前，这 $2\%$ 的偏高只能算作测量中尚未解释的系统误差。

来源：J. K. Mason

完整例题：一小簇晶粒里谁能留下来？

题目。在 $L=k=1$ 的多晶中，一个面积 $60$ 格的四边形晶粒挨着一个面积 $400$ 格的八边形晶粒。假设两者的边数都不变，它们各自变化多快？小的什么时候消失？

速率。$n=4$ 时 $dA/dt=(\pi/3)(4-6)=-2.09$ 格每单位时间；$n=8$ 时为 $+2.09$。两者都与面积无关。

寿命。$60/2.09=29$ 个时间单位。它缩小时很可能失去边，那样会缩得更快，所以这是一个上限估计。

检验。基准汇总的速率：四边形为 $-2.12$，八边形为 $+2.16$，分别比规律快 $1\%$ 和 $3\%$。

结论。四边形晶粒每单位时间减少约 $2.1$ 格，最多约 $29$ 个时间单位就消失；八边形晶粒只要保持八条边，就以同样的速率长大。

来源：J. K. Mason

粗化运行没有说明什么

从 $t=333$ 到 $1000$ 拟合平均面积随时间的变化，指数为 $0.81\pm0.05$，不是线性增长的 $1$。到这段时间结束时，每个方盒里只剩 $18$ 到 $25$ 个晶粒（开始时为 $43$ 到 $55$ 个），太少，达不到线性规律所假设的自相似阶段，运行时间也短。这个基准因此没有检验线性粗化，需要更大的方盒和更长的运行。$150$ 次检查里，自由能每次都下降或持平。

来源：A. Kazaryan