量子反差 / 光的相干叠加

Kerr 猫态与 Wigner 干涉

一个光波包，怎样同时出现在几处？ Kerr 演化把一束相干光扭成两三个相干分量的叠加，它们在相空间里各占一处。分量互相干涉的地方，Wigner 函数会变成负的。测光子数的奇偶就能看出来：那里奇数比偶数出现得多，但奇偶各自的概率从来不是负的。相位噪声会把干涉抹掉。

让 Kerr 效应把一束相干光变成两个或三个相干态的叠加。在可正可负的 Wigner 曲面上移动探针，统计光子数是偶数还是奇数。再比较光子损耗和相位噪声，看分支之间的干涉是不是比储存的能量消失得更早。

相干光先经过理想的 Kerr 演化，之后才单独进入存储阶段：光子漏向真空，还可以加上高斯相位抖动。光子数基矢在可调的上限处截断，页面会给出初态落在上限以外的概率。Kerr 演化和损耗不会同时发生，也不考虑驱动误差和探测器效率不足。Wigner 曲面由模型算出，不是用测量数据重建的；曲面上的负值也不代表负概率。

正值负值

WIGNER

0

相空间 · 高度为带符号 Wigner 值的五倍 · 拖动旋转

0

测量这个态，保留每个结果

你能测到负值吗？

每次奇偶测量只返回偶数或奇数；Wigner 估计为负，意味着奇数更多。

原始记录

0

Wigner · 探针处

0

Wigner · 奇偶估计

\text{—}

纯度 · 模型

1

移动位移探针

$\beta=\operatorname{Re}\beta+i\operatorname{Im}\beta$

0

底图：固定色标的模型 Wigner 值；描边圆点：已记录的奇偶估计。金色十字为探针；这不是层析重建。

偶数还是奇数：原始结果

\text{—}

区间：从原始奇偶计数得到的 95% Wilson 区间，只表示采样不确定性。每次测量均重新制备相同光场。

制备、存储、位移，再读出奇偶

能量还在时，分支之间的干涉可能已经消失。

光场先制备成相干态，在理想 Kerr 哈密顿量下演化。随后关掉 Kerr，光场在存储期间向真空损耗光子。高斯相位不确定度作为单独的通道，最后才起作用。曲面、能量和两种奇偶结果的概率，都来自同一个最终密度矩阵。

平均光子数 · 最终态

0

能量保留 · 模型

0

分支交叉项因子 · 模型

0

遗漏初态概率

0

青色曲线是平均能量保留的比例。珊瑚色曲线是环境重叠因子，它乘在两个相干分支之间的交叉项上，只适用于没有相位噪声的半复现猫态。这条解析参考是同一制备和损耗通道不截断时的极限。它不是纯度，不是 Fock 非对角元之和，也不是测得的可见度或保真度。两个分支重叠很多时，不能把它当成可区分猫态的相干。两条曲线都是模型参考；上方描边的奇偶样本才是采集到的数据。

\eta=e^{-\kappa\tau},\qquad \frac{E(\tau)}{E(0)}=\eta

C_{\rm env}=e^{-2|\alpha|^2(1-\eta)}

能量寿命是损耗速率的倒数。分支分得很开时，交叉项起初的衰减速率，等于能量衰减速率乘以两倍的初始平均光子数。这里用的是上面精确的有限时间因子，没有把短时间近似往外推。真空的初始能量为零，所以没有能量比可言。

基底大小截断的是制备出的量子态本身，不是相机或探测器。落在基底之外的相干态概率，会在归一化之前报告出来；超过 0.1% 就不允许采集，应先加大基底，再相信猫态预测。模型不考虑热光子、Kerr 与损耗同时作用、脉冲误差和探测效率不足，也不做量子态重建。

模型、单位与实际测量对象

H=\frac{\hbar K}{2}\hat n(\hat n-1),\quad r=\frac{Kt}{2\pi}

Kerr 系数取正，参考系随线性腔频率旋转。初始相干振幅的大小和角度可调，时间以完整复现周期为单位。制备完成后关掉 Kerr 效应：先在单独的存储时段里加入真空光子损耗，再加入独立的高斯相位不确定度；两种噪声的先后顺序不影响结果。模型没有让 Kerr 演化与耗散同时发生，退相干速率也不是拟合值。

W(\beta)=\frac2\pi\operatorname{Tr}[D(-\beta)\rho D(\beta)(-1)^{\hat n}]

两条坐标轴是相干振幅的实部和虚部，都无量纲；按这里的约定，Wigner 函数在这个平面上积分为一。探针的含义是：先按坐标的负值做位移，再测奇偶。样本是理想的二值读出，平滑曲面始终由密度矩阵算出。初态投影到所选的 Fock 态范围后归一化，丢掉的概率单独列出。这个范围内的湮灭损耗通道是精确的，保持迹和正定性，不需要积分步长。模型不含驱动、热浴、辅助量子比特脉冲和探测器。

\frac{d\rho}{d\tau}=\kappa\left(a\rho a^\dagger-\frac12\{a^\dagger a,\rho\}\right)

Albert et al. · vacuum photon loss, equations 1.3–1.6 · Kirchmair et al. · Kerr evolution and fractional revivals · Banaszek et al. · displaced parity

先抓重点

核心问题: 一个光波包，怎样同时出现在几处？
一句话直觉: 干涉能让 Wigner 函数出现负值，但每次测到奇或偶，概率仍是普通的非负数。

核心数学模型

存储损耗后的能量与干涉

\begin{gathered}\eta=e^{-\kappa\tau}\\ E(\tau)/E(0)=\eta\\ C_{\rm env}=e^{-2|\alpha|^2(1-\eta)}\end{gathered}

光子开始漏向真空之前，Kerr 作用已经关掉。交叉项因子只适用于半复现时刻、相位不确定度为零的双分支猫态。它不是测得的可见度，也不是光子数基矢下各相干项的总和。两个分支重叠得太多，就算不上可区分的猫态。

演化

c_n(r)=e^{-|\alpha|^2/2}\frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}e^{-i\pi r n(n-1)}

每个光子数分量积累的相位各不相同，光场在相空间里被剪切。走到复现周期的几分之一，就形成几个相干态的叠加；满一个周期，所有 Fock 分量的相位都回到原样。

移除相干

\rho_{mn}\longmapsto\rho_{mn}e^{-(m-n)^2\sigma_\phi^2/2}

这个噪声通道不改变对角占据，描述的不是能量损失。

实际记录

\widehat W(\beta)=\frac2\pi\frac{N_{\rm even}-N_{\rm odd}}{N_{\rm even}+N_{\rm odd}}

每次测量都重新制备同一个态，先按探针坐标的相反数做位移，再读出奇偶。Wilson 区间表示样本数有限带来的不确定度。

常见难点

画面是模型，不是测量

容易误解这张平滑的 Wigner 曲面，是用屏幕上那些采样重建出来的。

正确理解相干光先经过理想的 Kerr 演化，之后才单独进入存储阶段：光子漏向真空，还可以加上高斯相位抖动。光子数基矢在可调的上限处截断，页面会给出初态落在上限以外的概率。Kerr 演化和损耗不会同时发生，也不考虑驱动误差和探测器效率不足。Wigner 曲面由模型算出，不是用测量数据重建的；曲面上的负值也不代表负概率。

动手实验

01
比较损耗下的能量与干涉
选择「能量流失，相干先退」。比较保留的能量比例和分支交叉项因子，再找到一处负值谷，采集奇偶结果。中途停下一次采集，把它定格，然后继续、导出并恢复。
你会看到： 振幅为二、损耗剂量为四分之一时，能量还剩约 78%，交叉项因子却只有约 17%。只加相位噪声时，能量不变。这些数字是模型预测，可以拿来和采到的奇偶数据对照，并不是重建出的量子态。
02
看见猫态
从「制备」开始，再选「一半」或「三分之一」。旋转曲面，看清正负两部分。
你会看到： 正值波瓣和负值干涉谷同时出现；到完整复现时，光场又变回单个相干波包。
03
采集测量数据
把探针移进负值谷，采集 500 次奇偶结果。定格这次采集，再导出原始 CSV。
你会看到： 奇数结果比偶数多；区间收得足够窄时，会整个落在零以下。没有哪一次结果的概率是负的。
04
移除干涉
增大相位不确定度，比较曲线，再恢复定格的制备。
你会看到： 噪声降低了纯度，干涉也变了，但各光子数的占据没有变。

Kerr 猫态与 Wigner 干涉

你能测到负值吗？

能量还在时，分支之间的干涉可能已经消失。