光学 058 · 衍射、Fourier 光学与计算成像

晶体衍射与倒空间

衍射图里的斑点和圆环，怎样告诉我们晶体的晶格？ 斑点间距反映晶面间距，图样的对称性反映晶格对称性。倒格点落到 Ewald 球面上，就出现一个斑点。粉末里各种取向同时存在，斑点连成了环。哪些衍射点系统性地缺席，能区分简单、体心和面心立方。不过衍射图只能检验模型，不能唯一地还原结构。

旋转有限大小的立方晶体，计算它在探测器上的相干记录。研究 Ewald 球相交和白光 Laue 图样，再由同样的原子对距离算出粉末环。简单、体心和面心立方的系统消光说明了衍射图能告诉你什么、不能告诉你什么。

晶胞边长／所选晶面间距

a,d_{hkl}

$0.50$

所选基元强度／原子数

|F/n_b|^2,N_{\rm at}

$50\%$

理想散射角／Ewald 偏离

2\theta_B,\Delta_E

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

模型已对照解析结果检验

晶体衍射与倒空间

常规晶胞边长（不是任意晶面间距）

a

4\,\mathring{\mathrm A}

晶体方位旋转

\varphi

11.10^{\circ}

晶体倾斜

\chi

0^{\circ}

入射波长／Laue 中心波长

\lambda_0

1.54\,\mathring{\mathrm A}

每轴完整晶胞数

N

7

晶格：简单／体心／面心立方

\ell

0

模式：单色／Laue／粉末

m

0

Laue 相对半带宽

b

0.35

晶体到接收面的实际距离

D

120\,\mathrm{mm}

显示增益指数（不改原始数据）

g

3

所选反射（指标见下方按钮）

j

0

用单色光摇摆晶体，看斑点在 Ewald 球相交处附近出现。换成白光 Laue，用一段波长；或者换成随机粉末，由同一批原子对算出衍射环。原子簇、探测面和倒空间分开查看。简单立方、体心立方和面心立方的区别来自基元内部的干涉；空心消光点和允许的反射暂时没碰到球面不是一回事。晶胞边长会同时改变原子尺寸和倒格间距。金色标出理想反射，青色记录是有限原子簇的模拟数据。曝光只改变亮度。

散射按弹性、标量、运动学处理，原子是完整立方常规晶胞中完全相同的单位点原子。晶格和在有限晶体上精确计算；Laue 图样在均匀波长带上作非相干积分；粉末环用精确的各向同性 Debye 原子对平均，并作径向插值。前向探测面逐点采样，显示增益和挡束器都明确标出。理想倒空间几何与模拟记录分开。这里不恢复相位，也不唯一反演结构；不考虑材料标定、原子形状因子、偏振、吸收、多重散射、热运动和噪声。原子和支架放大显示，真实探测方向共用同一个毫米尺度。

先抓重点

核心问题: 衍射图里的斑点和圆环，怎样告诉我们晶体的晶格？
一句话直觉: 先把有限原子簇里每个原子的复振幅加起来，再取模平方： $I=\left|\sum_j e^{2\pi i\mathbf q\cdot\mathbf r_j}\right|^2$ 。单色曝光、白光 Laue 平均和随机取向的粉末平均，是三种不同的测量。

核心数学模型

晶胞边长不是晶面间距

\begin{aligned}\mathbf g_{hkl}&=R\,(h,k,l)/a\\d_{hkl}&=a/\sqrt{h^2+k^2+l^2}\\2d_{hkl}\sin\theta_B&=\lambda\end{aligned}

本 Lab 用立方常规晶胞，倒空间频率以每埃周数计。探测器上的散射角是 Bragg 角的两倍。改变晶胞边长，原子坐标、倒格间距和记录图案会一起缩放。角度由出射方向算出。

有限原子簇为什么给出展宽峰

\begin{aligned}J(\mathbf q)&=\frac{|F(aR^{\mathsf T}\mathbf q)|^2}{n_b^2}\\&\quad\prod_{\alpha=1}^{3}\left[\frac{\sin(\pi N t_\alpha)}{N\sin(\pi t_\alpha)}\right]^2\\\mathbf t&=aR^{\mathsf T}\mathbf q\end{aligned}

这个式子对由完整常规晶胞堆成的立方簇做了精确因式分解，每个晶胞的点散射基元相同。倒格坐标为整数时，比值取连续极限。晶胞越多，峰越窄；格点之间的旁瓣是有限簇真实带来的。强度除以原子数的平方，不按随时变化的最亮像素归一化。

基元干涉产生系统消光

\begin{aligned}F_{\rm SC}&=1\\F_{\rm BCC}&=1+(-1)^{h+k+l}\\F_{\rm FCC}&=1+(-1)^{h+k}\\&\quad+(-1)^{h+l}+(-1)^{k+l}\end{aligned}

所有原子的散射振幅都相同，等于一。体心立方只允许指标之和为偶数的反射，面心立方只允许指标全偶或全奇。空心的倒格点表示基元造成的消光；允许的反射只是恰好没碰到 Ewald 球，那是另一回事。偏离消光格点的有限探测像素，仍可能有旁瓣强度。

Ewald 球与白光 Laue

\begin{aligned}|\mathbf s_{\rm in}/\lambda+\mathbf g|&=1/\lambda\\\lambda_{\mathbf g}&=-\frac{2\mathbf s_{\rm in}\cdot\mathbf g}{|\mathbf g|^2}\\\overline J_{\rm Laue}&=\int w(\lambda)J_\lambda\,\mathrm d\lambda\end{aligned}

入射光沿实验室正 x 方向。Ewald 球心位于负的入射频率矢量处，所以球面经过倒空间原点。白光给出一组半径不同、套在一起的球，而不是单个单色球。不同波长的强度非相干相加。均匀波段平均用复合 Simpson 积分，区间数随参数在 96 到 512 之间调整；带宽为零时，结果回到单波长。

粉末环来自原子对距离

\begin{aligned}J_{\rm powder}(q)&=\frac1{N_{\rm at}^2}\sum_{i,j}\frac{\sin(2\pi q r_{ij})}{2\pi q r_{ij}}\\q&=\frac{2\sin\theta}{\lambda}\\r_{\rm detector}&=D\tan(2\theta)\end{aligned}

Debye 和是同一个原子簇对所有取向的精确平均。距离相同的原子对精确合并，自对也算在内。探测器上的值由径向表插值得到，图中曲线再把这些值按环带平均。转动那颗示例晶粒，改变不了各向同性的粉末图。金色环的位置是单独的理想 Bragg 参考，不是有限簇算出的峰。

此记录不能证明什么

J=|A|^2\quad\not\Rightarrow\quad\arg A

斑点位置和系统消光可以缩小候选晶格的范围，但只靠强度不能唯一确定原子结构。这是一个用相同点散射体的正问题模型，不能鉴定真实材料。形状因子、偏振、吸收、动力学散射、温度和探测噪声都没有考虑。曝光是标明的对数显示增益；中央挡束器不会改动原始散射值。

常见难点

看不到斑点，不等于没有这组晶面

容易误解每个倒格点都应该出现在探测器上，少一个斑点，就说明晶体模型错了。

正确理解先查基元消光，再查弹性散射的 Ewald 几何、波长范围，以及前向探测器的有限大小。这些都是信号缺失的不同原因。

动手实验

01
场景 1：单色摇摆衍射
先用单色预设，把方位来回摆动几度，再分别查看原子簇、接收面和倒空间。
你会看到： 倒格点靠近 Ewald 球时斑点变亮，离开时变暗；晶胞数越多，峰越窄。
02
场景 2：白光 Laue 衍射
选择 Laue，把带宽降到零，和参数相同的单色模式比较，然后转动晶体。
你会看到： 一段波长范围能让更多反射满足弹性散射条件；把波段收窄，就回到单波长记录。
03
场景 3：粉末与消光反射
选择粉末，在简单、体心、面心立方之间切换；选中第一个消光反射，改变晶胞边长，再转动示例晶粒。
你会看到： 改变晶胞边长或波长，粉末环会移动；转动示例晶粒则不会。基元消光能区分三种候选晶格。

晶体衍射与倒空间

检验晶体衍射与倒空间的物理过程

核心数学模型

晶胞边长不是晶面间距

有限原子簇为什么给出展宽峰

基元干涉产生系统消光

Ewald 球与白光 Laue

粉末环来自原子对距离

此记录不能证明什么

常见难点

看不到斑点，不等于没有这组晶面

动手实验

场景 1：单色摇摆衍射

场景 2：白光 Laue 衍射

场景 3：粉末与消光反射

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