光学 058 · 衍射、Fourier 光学与计算成像

晶体衍射与倒空间

旋转有限立方晶体，计算相干探测记录，探索 Ewald 相交与白光 Laue，再由同一原子对距离生成粉末环。简单／体心／面心的系统消光揭示衍射图能、不能告诉什么。

晶胞边长／所选晶面间距

a,d_{hkl}

$0.50$

所选基元强度／原子数

|F/n_b|^2,N_{\rm at}

$50\%$

理想散射角／Ewald 偏离

2\theta_B,\Delta_E

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

已验证科学装置

晶体衍射与倒空间

常规晶胞边长（不是任意晶面间距）

a

4\,\mathring{\mathrm A}

晶体方位旋转

\varphi

11.10^{\circ}

晶体倾斜

\chi

0^{\circ}

入射波长／Laue 中心波长

\lambda_0

1.54\,\mathring{\mathrm A}

每轴完整晶胞数

N

7

晶格：简单／体心／面心立方

\ell

0

模式：单色／Laue／粉末

m

0

Laue 相对半带宽

b

0.35

晶体到接收面的实际距离

D

120\,\mathrm{mm}

显示增益指数（不改原始数据）

g

3

所选反射（下方按钮给出指标）

j

0

摇摆单色晶体，观察斑点在 Ewald 相交附近出现。互换白光 Laue 波长带，或随机粉末模式，让同一原子对生成环。原子簇、接收正面、倒空间分别检查。简单、体心、面心立方因基元干涉不同；空心消光点不等于允许反射暂时没有落在球上。晶胞边长改变原子尺寸和倒格间距。金色为理想反射参考，青色记录为模拟有限簇数据。曝光只改亮度。

完整立方常规晶胞中等权单位点原子的弹性标量运动学散射。有限精确晶格和，均匀带非相干 Laue 积分，精确各向同性 Debye 对平均及径向插值。前向点采样探测面，明确显示增益和挡束器。理想倒空间几何独立于所采模拟记录。不恢复相位、不唯一反演结构，不含材料标定、形状因子、偏振、吸收、多重散射、热运动或噪声。原子与支撑放大，真实探测方向共用毫米尺度。

先抓重点

核心问题: 倒空间斑点与环怎样揭示未知的实空间晶格？
一句话直觉: 先相加实际有限原子簇的复振幅，再取模平方： $I=\left|\sum_j e^{2\pi i\mathbf q\cdot\mathbf r_j}\right|^2$ 。单色曝光、白光 Laue 平均与随机取向粉末平均是三种不同测量，不是三张可互换贴图。

核心数学模型

晶胞边长不是晶面间距

\begin{aligned}\mathbf g_{hkl}&=R\,(h,k,l)/a\\d_{hkl}&=a/\sqrt{h^2+k^2+l^2}\\2d_{hkl}\sin\theta_B&=\lambda\end{aligned}

本 Lab 使用立方常规晶胞，倒空间频率采用每埃周数。探测散射角是 Bragg 晶面角的两倍。改变晶胞边长会同时改变所有原子坐标、倒格间距与记录图案；角度来自出射方向，不是独立斑点动画。

同一有限原子簇与展宽峰

\begin{aligned}J(\mathbf q)&=\frac{|F(aR^{\mathsf T}\mathbf q)|^2}{n_b^2}\\&\quad\prod_{\alpha=1}^{3}\left[\frac{\sin(\pi N t_\alpha)}{N\sin(\pi t_\alpha)}\right]^2\\\mathbf t&=aR^{\mathsf T}\mathbf q\end{aligned}

该式是完整常规晶胞立方簇的精确因式分解，每个晶胞有相同点散射基元。整数倒格坐标处按连续极限求比值。增加晶胞数会收窄峰，格点外旁瓣来自有限簇。强度用原子数平方归一化，不按随时变化的最亮像素归一化。

基元干涉产生系统消光

\begin{aligned}F_{\rm SC}&=1\\F_{\rm BCC}&=1+(-1)^{h+k+l}\\F_{\rm FCC}&=1+(-1)^{h+k}\\&\quad+(-1)^{h+l}+(-1)^{k+l}\end{aligned}

所有原子的散射振幅相同且为一。体心允许指标和为偶数，面心允许指标全偶或全奇。空心倒格点表示基元消光，区别于允许反射暂时没有穿过 Ewald 球。偏离消光格点的有限探测像素仍可有旁瓣强度。

Ewald 球与白光 Laue

\begin{aligned}|\mathbf s_{\rm in}/\lambda+\mathbf g|&=1/\lambda\\\lambda_{\mathbf g}&=-\frac{2\mathbf s_{\rm in}\cdot\mathbf g}{|\mathbf g|^2}\\\overline J_{\rm Laue}&=\int w(\lambda)J_\lambda\,\mathrm d\lambda\end{aligned}

入射沿实验室正横轴；Ewald 球心为负入射频率，球面穿过倒空间原点。白光提供一簇不同半径，不是在单色球上另造斑点。不同波长的强度非相干相加。这里均匀带平均采用随参数加密的 96 至 512 个复合 Simpson 区间，零带宽退化为单波长结果。

粉末环来自对距离，不是画圆

\begin{aligned}J_{\rm powder}(q)&=\frac1{N_{\rm at}^2}\sum_{i,j}\frac{\sin(2\pi q r_{ij})}{2\pi q r_{ij}}\\q&=\frac{2\sin\theta}{\lambda}\\r_{\rm detector}&=D\tan(2\theta)\end{aligned}

Debye 和是同一簇的精确各向同性取向平均。相同对距离精确分组，并包含原子自对。径向表插值给探测值，再对这些探测记录按环带平均成所示曲线。转动单个示例晶粒不能改变各向同性粉末图。金色环位置为独立理想 Bragg 参考，不是有限簇计算峰。

此记录不能证明什么

J=|A|^2\quad\not\Rightarrow\quad\arg A

斑点位置、系统消光可以约束候选晶格，但强度不能唯一恢复原子结构。这里是等权点散射体的正问题模型，不是真实材料鉴定。不含形状因子、偏振、吸收、动力学散射、温度、探测噪声。曝光是明确的对数显示增益，中央挡束器不改原始散射值。

常见难点

无斑点不等于没有晶面

容易误解每个倒格点都应在探测器上出现，缺斑点就是晶体模型错误。

正确理解先检查基元消光，再检查弹性 Ewald 几何、波长带、有限前向探测器。信号缺失有不同原因，不应通过补画亮点解决。

动手实验

01
场景 1：单色摇摆衍射
先用单色预设，把方位来回改变几度；分别检查原子簇、接收面和倒空间。
应该观察到： 斑点接近 Ewald 相交时增强，离开时减弱；增加有限晶胞数使峰更窄。
02
场景 2：白光 Laue 衍射
选择 Laue，把带宽降到零，与相同参数的单色模式比较，再转动晶体。
应该观察到： 波长带提供更多弹性散射解；收窄波长带恢复单波长记录。
03
场景 3：粉末与消光反射
选择粉末，互换简单、体心、面心立方；选首个消光反射，改变晶胞边长，再转动示例晶粒。
应该观察到： 晶胞边长、波长改变粉末环位置，示例晶粒转动不会；基元消光区分三种候选晶格。