IN28 · 用力跟随表面

原子力显微镜

扫描到的凸起，来自样品、探针形状，还是反馈误差？ AFM 图像记录扫描器为维持力信号而作的移动。有限针尖会把窄凸起扫宽，压入会降低表观表面，反馈追不上又会留下跟踪误差。用已知标准校准，再比较不同扫描速度，有助于区分这些影响。

采集分区探测计数、扫描命令与力曲线，再由校准后的反馈记录重建表观高度。

凸起为什么变宽了？

拖动探针可移动扫描路径。改变针尖、力设定或工作方式后，重新采集标准。

表观高度跨度 $0\,\mathrm{nm}$

挠度跟踪均方根 $0\,\mathrm{nm}$

校准刚度 $0.05\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$

独立台阶核查误差 $0\,\mathrm{nm}$

工作方式反馈带宽

B/\mathrm{Hz}

40

指令行扫描率

f_{\mathrm{line}}/\mathrm{Hz}

10

已知针尖半径

R/\mathrm{nm}

20

扫描路径中心

y_c/\mathrm{nm}

0

排斥力设定值

F_{\mathrm{set}}/\mathrm{nN}

2

样品、方向与采集

实际台阶高度

h/\mathrm{nm}

20

实际约化模量

E^*/\mathrm{GPa}

1

扫描方向

\theta/{}^{\circ}

0

纳米几何显示倍率

G

100

采集种子

n

2801

光电子计数噪声

实际样品控制量只生成相互作用，推断读取计数和命令。改变显示倍率不改变物理观测。周期力为固定四百赫兹的低频方式，受接触占空比与带宽范围限制。

模型假设

矩形欧拉梁携带球形尖端与圆锥侧壁，在台阶和高斯凸起上扫描。几何膨胀只用于前向接触包络，不是采集图像。局部排斥接触采用无黏附弹性 Hertz 模型，压入须小于尖端半径十分之一；定量力曲线在平坦区域采集。接触反馈控制挠度，另设四百赫兹的离共振周期力教学模式，控制每周期的探测峰值挠度，不等同于共振振幅调制 AFM。该模式要求驱动相对固有频率足够低且接触占空比适用，并有独立惯性模型比较。省略黏附、跳入接触、摩擦、塑性、黏弹性、流体阻力、高阶梁模态及扫描器迟滞。光杠杆从同一百二十八段静态梁表面作镜面反射，再照到有限分区高斯光探测器。光电子计数采用泊松或高计数取整高斯抽样，各次采集种子独立。刚性挠度标准、已知参考悬臂、平面与台阶扫描分别校准读出、刚度和扫描器；光学、力与台阶核查单独保留，不参与校准。图像像素只平均保留的反馈命令，因此仍含压入、探针展宽和跟踪误差。力曲线模量以已知半径和固定观测校准为条件，局部拟合误差省略校准、针尖、材料定律与模型不确定度。带时钟的命令、计数、标准定义和配置均可导出。纳米几何与弯曲放大，光程和探针高度为示意，选取的周期记录慢放；显示变换不改变物理探测计数或推断。

保留的反馈扫描

校准、力推断与保留记录

独立挠度核查误差

\delta d/\mathrm{nm}

$0$

独立力核查相对误差

\delta F/F

$0$

校准扫描器比例

s_z

$0$

条件约化模量

E^*/\mathrm{GPa}

$0$

接近回撤相对差

\delta E^*/E^*

$0$

观测接触占空比

D

$0$

独立样品参考

保留的反馈行与独立模型样品、有限针尖包络比较。这两条参考都不提供图像像素或材料拟合值。

独立原始校准与测量采集
采集	帧数	光电子	种子

不可变的保留扫描
记录	方式	校准	图像可推断

已知刚性挠度校准分区探测器的非线性信号，参考悬臂校准刚度，平面与台阶校准高度。挠度、力与台阶核查单独保留。力曲线从观测命令和挠度拟合约化模量与未知接触起点，以针尖半径已知为条件。

表观高度仍含压入与反馈滞后。局部 Hertz 回归将力轴视为精确值，省略校准与计数相关性、半径、刚度标准和材料模型的不确定度，只用于平坦无黏附区域；锐边接触与真实黏附需要更完整的模型。CSV 和 JSON 保留完整命令、计数帧、时钟、标准定义、种子与硬件，单独的 CSV 即可重放推断。

探针沿表面运动产生的横向黏滑，可见单接触 AFM 摩擦。

先抓重点

核心问题: 扫描到的凸起，来自样品、探针形状，还是反馈误差？
一句话直觉: 先用已知标准校准探测器和扫描器，再把采集高度与同时保留的挠度误差一起比较。

核心数学模型

平坦区域的排斥弹性接触

F=kq=\frac{4}{3}E^*\sqrt{R}\,\delta^{3/2}

向上挠度 $q$ 为正，排斥力为 $F$ 。已知球形尖端半径 $R$ ，约化模量为 $E^*$ ，压入量为 $\delta$ 。Hertz 近似要求弹性、无黏附，且压入远小于针尖半径。

光杠杆的计数信号

u=\frac{C_+-C_-}{C_++C_-}

扣暗后的两个半区光电子计数为 $C_+$ 和 $C_-$ 。已知挠度独立校准这个非线性分区差，显示倍率不参与物理计数。

离散积分反馈

z_{n+1}=z_n+g(q_{\mathrm{obs},n}-q_{\mathrm{set}})

扫描命令 $z$ 向上增加；观测挠度过大时，抬高探头以减小负载。增益 $g$ 由带宽和更新周期决定；周期力方式读取一个离共振周期内的观测峰值。

先有有限针尖接触几何

h_{\mathrm{tip}}(x,y)=\max_{a,b}\left[h_s(a,b)-t(a-x,b-y)\right]

未变形样品高度为 $h_s$ ，针尖相对尖端的高度轮廓为 $t$ 。前向几何包络决定何处开始接触，图像像素则另由保留的扫描器命令生成。

常见难点

校准尺度以后，还要解释形状

容易误解高度读数校准准确，就已经去掉针尖形状和反馈误差。

正确理解校准确定数值尺度，有限针尖接触、压入与跟踪仍会改变记录位移和未变形表面的关系。

驱动低于共振，还不足以保证每次接触都准静态

容易误解驱动频率低，就可以忽略接触过程中的全部惯性。

正确理解短促接触会让力变化得比驱动周期快。这里还限制接触占空比，并用独立惯性接触计算比较适用参数。

动手实验

01
跟随一个凸起
保存扫描，在采集高度图与命令挠度图之间切换。
你会看到： 同一次保留扫描给出两个通道；扫描器跟不上时，挠度误差就变大。
02
换一根针尖
选择钝探针，或改变半径后重新采集匹配标准。
你会看到： 针尖侧面会在尖端抵达前碰到凸起，于是扫描出的凸起变宽。
03
让扫描跑到反馈前面
降低带宽或提高行扫描率，再同独立样品参考比较。
你会看到： 滞后会压低窄凸起的表观高度，也会移动边缘位置；慢扫逐渐接近有限针尖的几何包络。
04
读一条力曲线
打开接近回撤数据与校准详情，再试软表面或周期力预设。
你会看到： 平坦处的 Hertz 拟合在半径和观测校准已知的条件下估计约化模量。周期力以低频峰值挠度作反馈；接近回撤曲线本身在关闭周期驱动时采集。

原子力显微镜

保留的反馈扫描

用控力回路生成高度图

核心数学模型

平坦区域的排斥弹性接触

光杠杆的计数信号

离散积分反馈

先有有限针尖接触几何

常见难点

校准尺度以后，还要解释形状

驱动低于共振，还不足以保证每次接触都准静态

动手实验

跟随一个凸起

换一根针尖

让扫描跑到反馈前面

读一条力曲线

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