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Sandbox Physics
腔与波导量子电动力学

L4 · 第 8 章

把一次好看的散射变成可重复的研究

Sandbox Physics ·

一张相关图最有用的时候，是别人改变步长、边界或接收方式后，仍能说明哪些结论留下来了。先选一个可被推翻的预测，再设计能区分物理变化与计算误差的比较。少光子模型虽小，也能把这个过程做得完整。

从一条会失败的预测开始

可以问：“两个脉冲相隔足够远时，散射是否接近各自独立？”也可以问：“浴变宽后，指数衰减近似会不会更好？”把预测写成可比较的量，例如场中双光子分支权重、线性差图的总绝对差，或已声明的模式目标权重。

每份结果保存模型版本、初态、单位、参数、积分步长、采样间隔与结束时刻。确定性的薛定谔演化没有随机种子；若后来采样点击或加入噪声，才应保存采样算法与种子。把不存在的随机性写进记录，反而会让复算更难。

对应阅读：Sandbox Physics FR11 · Sandbox Physics FR11

守恒通过以后，还要检查哪几个极限

总概率正确只能排除一部分错误。一个符号错了的厄米哈密顿量仍会守恒。把原子解耦后，链的传播应回到已知色散；只保留一个谐振器时，两激发交换可与解析的耦合矩阵直接比较。再检查单激发与二激发的归一化因子。

对于二能级原子与单个谐振器，子空间 ∣g,2⟩|g,2\rangle 与 ∣e,1⟩|e,1\rangle 之间的耦合为 2g\sqrt2g。从前者出发，激发原子的概率应为 sin⁡2(2gt)\sin^2(\sqrt2gt)。这个极限由产生与湮灭算符对光子数态的作用推导，与链求解器的循环写法无关。

把时间步长减半时，比较相同物理时刻的观测。把链加长时，保持初态距原子的路程、脉冲宽度和物理参数不变。若同时拉宽脉冲，就无法知道结果改变来自边界还是新的初态。

a∣2⟩=2∣1⟩,Pe(t)=sin⁡2(2gt)a|2\rangle=\sqrt2|1\rangle,\qquad P_e(t)=\sin^2(\sqrt2gt)
这是共振、无损、单模的两激发解析极限。它与传播波导中的完整散射是不同的检查。

对应阅读：Sandbox Physics FR11

用侧荧光建立独立的输出关联基准

有限链空间图之外，再选一个有解析答案的输出问题：连续弱驱动二能级原子的侧向荧光。探测端只接收原子辐射，不混进入射激光的直接相干场。一次光子探测把原子放回基态，接下来它必须再次被激发，才可能发出另一个光子。

主方程里的 ρ\rho 是密度矩阵：对角元是基态与激发态的概率，非对角元保存二者的相干。σ−=∣g⟩⟨e∣\sigma_-=|g\rangle\langle e| 让原子下降，σx=∣e⟩⟨g∣+∣g⟩⟨e∣\sigma_x=|e\rangle\langle g|+|g\rangle\langle e| 交换两个态。方括号表示 [A,B]=AB−BA[A,B]=AB-BA，花括号表示 {A,B}=AB+BA\{A,B\}=AB+BA。

取 ℏ=1\hbar=1，共振驱动哈密顿量 H=Ωσx/2H=\Omega\sigma_x/2，激发概率衰减率 Γ\Gamma。主方程包含耗散项 D[σ−]ρ=σ−ρσ+−{σ+σ−,ρ}/2\mathcal D[\sigma_-]\rho=\sigma_-\rho\sigma_+-\{\sigma_+\sigma_-,\rho\}/2。从基态出发求条件激发概率，再除以稳态激发概率，得到正常排序的归一化荧光关联。

弱驱动极限给 g(2)(τ)=(1−e−Γ∣τ∣/2)2g^{(2)}(\tau)=(1-e^{-\Gamma|\tau|/2})^2。零延迟为零，长延迟回到一。脚本另外保留有限驱动的闭式解，所以能把“数值误差”和“还没有真正走到弱驱动极限”分开。

ρ˙=−i[H,ρ]+ΓD[σ−]ρ,g(2)(τ)=Pe(τ∣g)Pess\dot\rho=-i[H,\rho]+\Gamma\mathcal D[\sigma_-]\rho,\qquad g^{(2)}(\tau)=\frac{P_e(\tau\mid g)}{P_e^{\rm ss}}
这是 Markov 主方程中的条件演化与量子回归关系；不把它直接套在有记忆的有限链上。
Pess=Ω2Γ2+2Ω2,g(2)(τ)⟶Ω/Γ→0(1−e−Γ∣τ∣/2)2P_e^{\rm ss}=\frac{\Omega^2}{\Gamma^2+2\Omega^2},\qquad g^{(2)}(\tau)\underset{\Omega/\Gamma\to0}{\longrightarrow}(1-e^{-\Gamma|\tau|/2})^2
程序以激发概率与相干项的耦合微分方程求条件态，独立比较闭式解和极限表达式。

对应阅读：Kimble · Sandbox Physics FR11

把弱驱动答案推出来

一次探测以后原子从基态开始。弱驱动时，激发振幅只有 Ω/Γ\Omega/\Gamma 的量级，基态振幅可先近似为一。激发振幅一边被驱动建立，一边以 Γ/2\Gamma/2 衰减。解这条一阶方程，可以直接看见原子恢复发射能力的过程。

将解取模平方，得到条件激发概率。稳态激发概率在同一近似下为 (Ω/Γ)2(\Omega/\Gamma)^2，二者相除后驱动强度消掉，留下延迟的形状。这一步使用弱驱动和无记忆衰减；较强驱动时，要回到包含基态耗尽与相干的完整方程。

c˙e=−Γ2ce−iΩ2,ce(0)=0,ce(τ)=−iΩΓ(1−e−Γτ/2),Pe(τ∣g)≃Ω2Γ2(1−e−Γτ/2)2\dot c_e=-\frac\Gamma2c_e-\frac{i\Omega}{2},\quad c_e(0)=0,\quad c_e(\tau)=-\frac{i\Omega}{\Gamma}(1-e^{-\Gamma\tau/2}),\quad P_e(\tau\mid g)\simeq\frac{\Omega^2}{\Gamma^2}(1-e^{-\Gamma\tau/2})^2
本式取非负延迟，稳态相关的负延迟由绝对值对称延伸。

给同一个关联再加时间误差

基准选 Γ=1\Gamma=1、Ω=0.02\Omega=0.02。在延迟零到十八内，数值回归与有限驱动闭式解的最大差小于 5×10−135\times10^{-13}；与严格弱驱动极限的最大差约 3.68×10−43.68\times10^{-4}。后一个数主要反映驱动仍有限，不能都算成积分误差。

将关联与归一化高斯延迟响应卷积。这里标准差 σ\sigma 指两路探测器合起来的延迟误差，不是每只探测器各自的抖动。σ=0.3\sigma=0.3 与 σ=1\sigma=1 分别把零延迟读数抬到约 0.01790.0179 与 0.12480.1248。原来的光场没有改变，是测量分辨率把附近非零的关联混进了中心。

这些是声明模型的数值基准。它们没有拟合一九七七年实验的计数、背景或原子穿行，也没有把非 Markov 空间图转换成探测时间。它们验证的是独立主方程、解析极限与响应处理之间的联系。

对应阅读：Sandbox Physics FR11

怎样选择下一个研究问题

若关心收集态，可以让接收模式追踪返回脉冲的相位，比较固定接收器与可调接收器的目标权重。若关心双光子散射，可以研究带宽与到达间隔怎样共同改变相关输出，并保留相同的单光子参考。每次只增加一个明确的物理自由度。

长延迟、大浴和更多光子会迅速扩大态空间。接下来可以把时间段当作一串输出自由度，用矩阵乘积态表示受限的纠缠。小系统的解析极限与这里的原始记录仍然有用：它们是更大程序首先应当重现的结果。

动手检验预测

写一项能被数值检查推翻的预测

  1. 选择脉冲间隔或失谐作为唯一自变量，先写出线性差图应怎样变化。
  2. 保存至少两份记录，比较相同结束时刻的场分支权重与差异，确认边界未主导结果。
  3. 使用仓库基准重算步长与链长检查。若差异与数值误差同量级，报告为尚未分辨。

比较腔输出与原子侧荧光

  1. 选择“单光子通行”，降低相干驱动，观察模型预测的条件输出关联；腔内光子数快照单独解释。
  2. 换到“移走原子”，比较线性空腔与原子—腔能级阶梯造成的变化，再回到原预设。
  3. 说明腔输出的跳跃算符取腔场，而本章侧荧光基准取原子下降算符。两种收集几何分别计算，不能把腔内重复制备快照当作连续点击。

把发射与接收分开改进

  1. 固定发射记录，提出一个能提高目标权重的接收模式改变。
  2. 比较其条件保真度和无条件目标权重，说明改进来自哪里。
  3. 再改变一个发射参数，检验原来的接收模式是否仍然合适。

练习与解释性答案

  1. 总概率误差很小，双光子散射就一定正确吗？

    展开解释

    不一定。错误的厄米模型也能守恒。还需解析单模极限、线性参考、单激发退回、时间步长与边界检查。每一种检查排除不同的错误。

  2. 为什么探测器模糊能让零延迟关联升高，而不要求原子瞬时发出两个光子？

    展开解释

    测到的延迟在真实零点附近取平均，其中包含非零延迟的事件。中心凹口因此变浅；光场原本的零延迟正常排序关联仍可为零。

  3. 增加链长后结果变了，接下来怎样区分有限尺寸与改变了初态？

    展开解释

    保持原子位置的相对坐标、脉冲距原子的距离、脉冲宽度及结束时刻不变，只把远端延长。再比较反射到达时间与边界权重。

来源与计算范围

  1. Kimble, Dagenais and Mandel, Photon antibunching in resonance fluorescence, Phys. Rev. Lett. 39, 691 (1977)

    发表于一九七七年九月十二日。式五将荧光关联联系到探测后从基态出发的条件演化。补充的 Markov 基准采用这条观测关系，没有拟合历史计数或仪器。

  2. Sandbox Physics FR11, finite two-excitation scattering model

    列出态基底、有序位置图归一化、谐振子参考、收敛与独立单模检查。导出的空间数据与连续探测记录分别解释。

  3. Sandbox Physics FR11, finite-band ports and collected-mode model

    有限浴保留场振幅与各条输出损失；探测器响应为声明的合成滤波。另一个可控源保存复输出采样，用于接收模式投影。

  4. Sandbox Physics FR11, independent side-fluorescence regression benchmark

    从探测后基态出发积分光学 Bloch 方程，与有限驱动闭式解、弱驱动极限及归一化高斯延迟响应比较。原始确定性采样和误差保存在 fluorescence-benchmark.json。

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