环境什么时候会把光送回来

一串谐振器只能传一段频率

把波导画成间隔 $a$ 的谐振器链，只有相邻两点以耦合 $J>0$ 交换光子。取中心谐振频率为零，平面波在相邻点之间多一个相位 $ka$ 。将它代入离散传播方程，就得到一个有限的频带。

频率落在 $[-2J,2J]$ 之外时，链中没有相同频率的延展传播模。群速度是频率随波数变化的斜率：它给窄波包中心的运动速度。带中心最快，靠近两端越走越慢。一个宽频脉冲包含不同速度，因此会变形。

\omega(k)=-2J\cos(ka),\qquad v_g(k)=2Ja\sin(ka),\qquad |v_g|\le 2Ja

频率用每秒、波数用每米，群速度便是每秒米。浏览器链模型常把耦合与格距都选作单位。

把原子频率调到带外，它与链的共同本征态可以形成一个局域光子尾巴。尾巴离原子越远越小，不能像通带波一样把全部概率带到无穷远。这种原子与光混合的局域本征态称为束缚态。

以物理能量除以约化普朗克常数记作 $E$ ，其单位与 $J$ 相同。对这个本征频率在带外的解，远处振幅按 $r^{|j|}$ 衰减。把它代回无源链方程得到下面的关系。局域要求 $|r|<1$ ；原子耦合决定哪些能量能与中心处的条件同时满足。

初始激发的裸原子通常不是一个束缚态。它会同时投影到延展态与束缚态：前者向外走，后者留在附近。某一时刻原子里的激发概率，只取了束缚态的一部分；附近一小段光子激发概率也可能夹着尚未离开的传播波。

E=-J(r+r^{-1}),\qquad \ell=\frac{a}{-\log|r|}

局域长度越大，观察窗口与链长越容易影响判断。有限时刻的一团亮光，需要和本征态或长时行为一起分析。

巨原子的两个接点属于同一个量子系统。波从一个接点发出，沿波导走到另一个接点时，可以再次推动这个原子的振幅。即使把波导两端移到极远处，这条传播路径仍存在。

带中心附近，两个接点相隔 $d=32a$ ，取 $J=a=1$ ，中心群速度为二，因此首次传播时间约为 $16$ 。这个估算针对窄带中心分量；有限带宽会把返回展宽，不能把每个局部峰都精确叫作同一个延迟。

改变接点间距，应当改变这类反馈的到达时间与相位。只改变链末端的位置，则不该改变第一轮跨接点传播。这给数值诊断一个可操作的办法。

\tau_{\rm between}\simeq\frac{d}{|v_g(k_0)|}

这是一程接点间传播，和从原子出发到边界再回来的往返路程不同。

两种返回走过不同的路

原创几何示意，距离未按比例绘制。移动接点改变青色传播路径，移动端点改变橙色往返路径。

若原子距硬端点为 $L$ ，波碰到边界再回来，最早明显影响的时间大约是 $2L/|v_g|$ 。把链延长后，这个回波会后移。对既有实验的四百零一个格点，中心到端点约两百个格距；在 $J=a=1$ 下，最快波的往返估算约为两百个时间单位。

既有单激发实验的默认演化到六十四个时间单位，主要波前尚未往返到边界。离散格点的传播不是严格有限光速，极小尾巴仍应以端点激发概率检查。新模型若加吸收边界，还要同时测量吸收前反射了多少概率。

完整例题：一份模拟在十六附近出现原子激发概率回升。把链加长一半，回升时间几乎没变；把两个接点间距减半，回升明显提前。这支持接点间传播的解释。若只看到带外的局域云，时间上没有清晰的回返波前，则应进一步分析束缚态投影。

有限带宽负责环境保留多久的记忆；接点或反射镜的几何提供明确路程；有限链端点可能额外制造回波。一个模型可以同时含有这些过程。先分辨来源，才适合讨论哪些返回能被量子节点收集。