一个激发怎样从原子走进光里

先只留两个可能

设想一颗原子已经激发，旁边的腔里没有光子。腔只保留一种能与原子交换能量的振动方式，称为腔模。暂时关闭所有损耗，系统只有两种可能：原子激发、腔空着，或原子回到基态、腔里有一个光子。

把这两种可能写成 $|e,0\rangle$ 与 $|g,1\rangle$。字母记录原子，数字记录腔。量子态给每种可能配一个复振幅 $c_e$ 或 $c_c$；测量原子激发的概率是 $|c_e|^2$。同一次测量的两个结果互斥，所以概率之和为一。

复数箭头并不表示原子沿着某个方向转动。它的方向决定不同过程相加时能否增强或抵消。只看箭头长度，会漏掉后面光子重新吸收时最关键的信息。

对应阅读：Jaynes and Cummings · Sheremet et al.

耦合使两支箭头一起转

取时间单位为秒，原子与腔的频率差 $\Delta=\omega_a-\omega_c$ 以及耦合 $g$ 都用每秒弧度表示。在随腔频率旋转的参考系里，快速的共同转动被去掉，剩下的方程只描述交换。我们采用 $g>0$ 的相位约定，并作旋波近似：保留交换一个激发的项。耦合、失谐和衰减率须远小于原子与腔的载频；超强耦合时需要恢复被略去的项。

导数表示振幅每秒改变多少。方程右边的虚数因子让一支振幅推动另一支转动，所以某一时刻原子激发概率不变，也不代表整个量子态停止变化。初态中只有原子振幅为一；两条方程便可从这个起点连续求解。

算出第一次完整交换

在共振 $\Delta=0$ 时，对第一式再求一次导数，代入第二式，得到一个与弹簧振动形式相同的方程。满足初态的解是原子振幅的余弦与腔振幅的负虚数正弦。平方后，两边的激发概率交替起落。

完整例题：取 $g/(2\pi)=5\,\mathrm{MHz}$。第一次把激发全部交给腔，需要 $gt=\pi/2$，因此 $t=50\,\mathrm{ns}$。此时原子激发概率为零，腔激发概率为一；再等同样长的时间，激发回到原子。这里讨论的是无损单模模型。

频率不合时，交换会少一截

如果原子与腔的频率不同，原子振幅在交换过程中还会相对腔多转一个角度。两支箭头不能一直朝着最有利于转移的方向叠加。交换仍然发生，但腔里最多达到的激发概率下降。

解同一组方程，振荡角频率为 $\Omega=\sqrt{\Delta^2+4g^2}$。例如失谐取 $\Delta=2g$，腔的最大激发概率只有二分之一。较快的振荡与较小的转移幅度可以同时出现。只挑一个较早的峰，不能证明耦合更强。

接上波导后，还得跟踪不同位置上的光子振幅。每一小段波导都多添一种“激发可能在这里”的选项。这条思路从两个复数自然延伸到一串复数，是下一章建立开放系统的起点。

对应阅读：Jaynes and Cummings · Sheremet et al.