两个光子为何不能各算各的

同一个密度，可以藏着不同的配对

考虑左右两个输出区域。一种双光子状态每次都在同一侧出现两个光子，左右机会各半；另一种每次左右各有一个。重复许多次后，两边的平均光子数都一样。只画左右密度，便看不出这两种状态有什么不同。

需要再画一张图：横轴记录一个光子的位置，纵轴记录另一个的位置。图中左下、右上或两个交叉区域的权重，区分两光子同侧与异侧。光子没有永久的“第一颗”和“第二颗”身份，交换坐标后振幅相同。

对应阅读：Nysteen et al.

把两种激发分配都写进状态

链格点从左向右编号。$a_j^\dagger$ 表示在第 $j$ 点增加一个光子，$\sigma_+$ 把原子从基态升到激发态。总激发数为二时，系统可有两个光子，或一个光子加一个原子激发。下面用对称矩阵 $\Phi_{jk}$ 和向量 $e_j$ 把它们都写进去。

前面的 $1/\sqrt2$ 处理全同光子的计数。对不同格点，同一物理配对在完整矩阵中出现两次；同一点上的两个光子则带有玻色子的平方根因子。使用完整有序坐标矩阵时，总归一化正好是所有矩阵元模平方，加上原子激发分支的概率。

对应阅读：Nysteen et al.

两张振幅表怎样随时间变化

令 $h_{j\ell}$ 是裸波导的单光子传播矩阵：相邻格点为负耦合，其余为零。原子接在 $c$ 点，失谐为 $\Delta$，耦合为 $g$。将前面的状态代入薛定谔方程，并分别比较两种分支的系数，得到下面两条方程。

第一条里，两项传播分别移动一个光子的坐标；最后两项让激发原子发出一个光子。第二条让剩余光子继续传播，同时允许原子吸收场中的一个光子。两条方程必须一起求解。

平方根二的来历可以在单个格点上直接看见：归一化二光子态是 $(a^\dagger)^2|0\rangle/\sqrt2$，湮灭一个光子得到 $\sqrt2|1\rangle$。这个系数把二光子分支与原子激发分支联系起来；而二能级原子不能再向上升一级。

对应阅读：Sandbox Physics FR11

先做一个真的线性对照

把原子换成一个谐振子，保留相同频率、耦合和波导。谐振子允许第二次激发，所以两个光子可以各自按单激发方程传播，再把结果对称相加。这给出明确的线性参考。

设两束入射的归一化单光子模式为 $u$ 与 $v$，其重叠 $s=\langle u|v\rangle=\sum_j u_j^*v_j$，求和遍历完整的单激发空间，包括链与谐振子。它们重叠越大，态的归一化因子也要跟着改变。先分别用同一个单激发哈密顿量传播，再构造下面的双光子振幅。谐振子的双占据分支也要保留，不能为让两张图更像而删除。

完整例题：若两个光子处于同一模式，重叠为一，分子为两倍模式乘积，分母也为二，最后恰好得到模式乘积。若两束正交，分母变成平方根二。把这两个极限代回归一化，可以检查全同粒子的因子有没有漏掉。

看差图时，先问它减掉的是什么

本实验的空间差图比较 $|\Phi_{jk}|^2$ 与 $|\Phi_{jk}^{\rm lin}|^2$。它们都保留场中确有两个光子的概率，没有各自重新归一化。原子还激发着时，二维图的总权重就小于一。差图因此同时保留散射方式与不同分支权重的变化。

若把振幅差记作 $C=\Phi-\Phi^{\rm lin}$，概率差还含有参考振幅与 $C$ 的干涉项。于是亮斑不能直接当作“相关光子数”，暗斑也不是负概率。

散射理论的连通振幅定义在入射态与渐近出射态之间：先减去两个单光子散射的对称乘积，再研究剩余部分。有限时刻的空间概率差、减去密度乘积的关联，以及这个连通散射振幅，回答不同的问题。

对应阅读：Shen and Fan

怎样知道看到的是饱和

先把原子与波导解耦。两条路径应完全一致。再把两束脉冲的到达时间拉开，让原子在两次作用之间大致恢复，双光子结果应靠近分开的单光子散射。最后让它们在原子附近重叠，检查原子激发、空间相关与线性差异怎样一起变化。

光子数密度取 $n_j=2\sum_k|\Phi_{jk}|^2+|e_j|^2$。加上原子激发概率，应当总共得到二。这个守恒量来自模型，而不是画面颜色的约定。为了看到完整散射，还要选在波包离开原子之后、端点反射回来之前的时刻。