光离开以后，怎样仍把它算进去

先把系统与环境一起写下来

系统振幅为 $c(t)$，环境第 $q$ 个模的振幅为 $b_q(t)$，两者都无量纲。$\Delta$ 与 $\omega_q$ 是相对参考频率的角频率；复耦合 $g_q$ 也以每秒表示，相位描述耦合的相对约定。下面两个方向的耦合互为复共轭，交换哈密顿量因而为厄米，无损时总概率守恒。

为求环境的解，把第二式乘上 $e^{i\omega_qt}$。按乘积求导法则，自由转动项恰好抵消，只留下源 $c(t)$。再从初始时刻积分，就得到下一节的历史表达式。

消去一个振幅，要留下它的历史

让系统激发振幅为 $c(t)$，环境第 $q$ 个模的振幅为 $b_q(t)$。频率都相对选定参考频率表示。环境初始为空时，某个模现在的振幅，是系统此前在每个时刻发给它的振幅之和；每一份还要乘上发出后积累的相位。

把这个积分解代回系统方程，环境变量消失了，过去的系统振幅却留下来。这就是记忆核：它给不同年龄的历史分配不同的复权重。环境有许多模式，也不自动保证这些权重会迅速抵消。

对应阅读：Gardiner and Collett · Sheremet et al.

什么条件让历史缩成一个衰减率

如果相关频率附近的环境密度与耦合都很平缓，许多不同频率的相位很快散开，记忆核只在极短的时间里明显。假如系统在这段时间内几乎没变，就可以把积分中的过去振幅换成当前振幅，再把积分上限延伸到足够远。

积分的实部给激发概率衰减率 $\Gamma$ 的一半，虚部给频率修正 $\delta\omega$。这两个数必须来自同一个环境。把频率修正并入失谐后，系统振幅作指数衰减。近带边、窄带滤波器或长传播延迟，都可能破坏刚才的时间尺度分离。

一个端口把腔内振幅接到传播场

考虑只有一个输出端口的腔。腔振幅 $c_c$ 无量纲；传播单光子包络 $\xi(t)$ 用每秒平方根的倒数表示；模平方给每秒流出概率。选定输入与输出的相位后，端口关系写成下面的形式。

输出有两部分：直接经过端口的入射光，以及腔重新发出的光。它们要先加振幅，再算通量。它会改变输出相位与脉冲形状。这个无损单端口腔的稳态单色输入与输出强度相同；出现强度凹口还需另一个输出或损失通道。若只把腔激发概率乘一个比例加到入射强度上，便丢掉了干涉。

在没有入射光、腔里起初有一个光子的情况下，输出通量恰好等于腔激发概率的流失率。原子与腔一起存在时，还要先算二者的交换；腔激发概率能下降，也能在原子回馈后再次上升。

对应阅读：Gardiner and Collett · Sheremet et al.

例题里少掉的概率去了哪里

一个初始光子从空输入端口衰减出去。取 $\kappa/(2\pi)=10\,\mathrm{MHz}$，则激发概率寿命 $1/\kappa\simeq15.9\,\mathrm{ns}$。等待三个激发概率寿命，腔里剩 $e^{-3}\simeq0.0498$，离开的概率为 $0.950$。两者相加为一。

加入另一条无法收集的损耗端口后，腔的总衰减率要包含它。测到的输出只占总流失的一部分。后面比较量子节点时，收集概率与已经收集到的光子有多像目标模式，要分别计算。