收到一个光子，还要问收到的是哪一种

把接收器写成一个时间模式

把接收器希望接收的复包络记为 $u(t)$ ，观测窗口内的模平方积分取一。它定义了一个时间模式：振幅在什么时候大、相位随时间怎样走。模式中的一个光子，是许多可能到达时刻的相干叠加。

实际收集端口的未归一化包络是 $\xi(t)$ 。先把模平方积分，得到光子在这个窗口进入端口的概率 $P_{\rm col}$ ；再用接收器的共轭模式乘它、沿时间相加，得到目标模式的振幅。两个步骤次序不同，保留的信息也不同。

\int_0^T|u(t)|^2dt=1,\qquad P_{\rm col}=\int_0^T|\xi(t)|^2dt,\qquad A_u=\int_0^T u^*(t)\xi(t)\,dt

时间模式具有每秒平方根的倒数量纲，三个积分结果都无量纲。内积保留相位相消。

收集概率回答有多大机会收到光子。条件模式保真度 $F_{\rm cond}$ 回答在已经收集到的那些事件里，光子有多像目标模式。无条件目标权重 $W_u$ 把两者合起来，给每次尝试落入目标单光子态的概率。

若 $P_{\rm col}=0$ ，条件保真度没有定义。只报一个很高的条件值，可能掩盖极低的成功概率。反过来，只报收集率，也可能掩盖接收器根本无法接受的相位或时序。

这里的单光子输出在给定端口中是一个纯模式。若存在无法记录的随机相位或频谱混合，需要密度矩阵来表示；不能把不同次实验的复振幅直接平均后沿用纯态公式。

F_{\rm cond}=\frac{|A_u|^2}{P_{\rm col}},\qquad W_u=|A_u|^2=P_{\rm col}F_{\rm cond}

这个保真度计算光子与指定单光子时间模式的重叠。

若一个理想、频率无关的分路只让比例 $\eta$ 的光进入收集端口，实际包络变成 $\sqrt\eta\,\xi_0$ 。内积也乘相同平方根。于是收集概率与目标权重都缩小，归一化后的条件保真度保持不变。

完整例题：收到光子的概率为 $0.60$ ，其中条件模式保真度为 $0.90$ 。每次尝试的目标权重为 $0.54$ 。即使把模式形状完全修好，保持同样损耗时也最多达到 $0.60$ 。若接收模式固定，只有减少损耗或把更多振幅转进它所接受的模式，才能继续提高成功率。

让两个脉冲的强度完全相同，只给一个脉冲加随时间旋转的相位。看强度曲线不会发现区别；内积里，不同时刻的复箭头却可以互相抵消。固定的整体相位只会转动最终箭头，不改变保真度，随时间改变的相位才会改变形状匹配。

取整条时间轴上归一化的双曲正割模式 $\phi_\kappa$ 。同一波形错开 $\delta t$ 时，重叠振幅由下面的解析式给出。例如 $\kappa\delta t=2$ ，振幅约为 $0.851$ ，保真度约为 $0.724$ 。有限窗口需要用保存的采样重新积分，不能直接照搬无限窗口的数。

\phi_\kappa(t)=\frac{\sqrt\kappa}{2}\operatorname{sech}\!\left(\frac{\kappa t}{2}\right),\qquad \int_{-\infty}^{\infty}|\phi_\kappa|^2dt=1

双曲正割等于双曲余弦的倒数；它给一个左右对称、两侧平滑衰减的时间包络。

\int_{-\infty}^{\infty}\phi_\kappa(t)\phi_\kappa(t-\delta t)dt=\frac{\kappa\delta t/2}{\sinh(\kappa\delta t/2)}

零错时的极限是一。错时影响模式重叠，即使全部光子仍到达同一个端口。

错时脉冲与固定接收模式

每单位无量纲时间的概率

|\phi_1(x)|^2

无量纲时间

x=\kappa t

原创理想强度曲线，定义在整条时间轴上。发射脉冲延迟两个无量纲时间单位；有限记录的模式重叠另由复采样计算。

先取一个容易积分的理想接收模式：在 $0<t<T$ 内 $u(t)=1/\sqrt T$ ，窗口外为零。准备收集概率 $P=0.8$ 的同形脉冲，再把后半段相位翻转半圈。实际包络的强度全程保持 $P/T$ ，收集概率因此仍是零点八。

内积却要把前半段的正箭头与后半段的负箭头相加。两段长度相等，贡献恰好抵消，条件模式保真度与目标权重都变成零。若把整个脉冲一起反相，所有箭头仍同向相加，条件保真度保持为一。这个理想例子把相位失配与能量损失清楚分开。

\xi(t)=\sqrt{\frac PT}\begin{cases}1,&0<t<T/2,\\-1,&T/2<t<T,\end{cases}\qquad A_u=\frac{\sqrt P}{T}\left(\frac T2-\frac T2\right)=0

矩形模式与瞬时反相是用于手算的理想参考。交互实验使用平滑包络与连续失谐。

节点实验选定双曲正割接收模式，并分别改变发射带宽、收集分支、频率失谐和脉冲中心。发射模型保留随时间变化的源激发概率，以及收集与未收集两条输出；三者在每个时刻相加为一。

为从有限起始时刻启动，源的生存概率按起始值归一化。目标模式也在实际窗口内归一化。这样每个读数都对应同一个有限实验。调动脉冲时，应同时检查是否有更多尾巴落到窗口外，再讨论纯粹的模式失配。

有限浴的右端口也能做同样的比较。这里把默认共振浴在固定窗口内发出的复包络归一化，作为另一种固定接收模式；它与节点实验的双曲正割模式分别定义。调到带边后，仍由新记录的右端口振幅计算收集概率、条件模式保真度和目标权重，便能检验返回与拖尾究竟留下了多少可收集的态。

最有用的比较通常只有一次改变：先改变收集分支，再只加失谐，最后只移动脉冲中心。前者主要改变成功率，后两者把相位与时序带进同一个接收器问题。