光子禁带里的局域与释放

逃不出去的光子云

原子频率调进波导禁带后，为什么激发不会全部发射出去？ 因为在原子的频率上，光沿波导传不出去。开始时有一部分激发向外跑掉，其余的和原子结成束缚态：原子保持部分激发，身边裹着一团光子云，离得越远越稀，按指数减弱。频率在禁带里越深，云裹得越紧，留下的激发越多；调回传播带，激发几乎全部散走。

拖动原子跃迁频率，让它穿过波导的带边。追踪向外传播的波和留在原子身边的局域光子云，再拿另外算出的束缚态，检查原子里剩下的激发。

单个二能级原子耦合到理想谐振器阵列的一个格点上。哈密顿量采用旋波近似，只含一个激发，没有无序、吸收或其他衰减通道。无限长链的束缚态作为解析参考；某个有限时刻的局域云，本身并不等于测出了束缚态的总权重。

停在传播带的边缘。

仍在原子中的激发

P_e=0

总束缚态权重 · 无限链参考

0

原子

0\%

原子附近

0\%

区域之外

0\%

谐振器阵列示意。波带高度采用固定概率平方根增益，原子亮度对应激发占据。这是波导上的诊断视图，不是平均场或粒子路径。

Jt=0

01 / 激发去了哪里

拖动时间，看完整个旅程。

完整 401 格模型，时间向下增加。竖向拖动或用方向键选择时刻。固定平方根色标在每格概率 0.04 处饱和，白线标出当前快照。

$x/a\ \longrightarrow\qquad Jt\ \downarrow$

02 / 一条带，两个边缘

拖动原子，穿过带边。

青线为传播带。金线为裸原子频率，竖向拖动或方向键调节。珊瑚线为两个缀饰束缚能量，也显示微弱分支。均为模型参考。

$ka/\pi\ \longrightarrow\qquad (\omega-\omega_c)/J$

有多少留在原子里？

青线为完整时间演化，珊瑚虚线只含两个束缚态及其相互干涉。参考不含连续谱，所以早期不必重合。

每次制备，只读出一个结果。

找到这一个激发。

0 / 10000

每次都重新制备一个处于激发态的原子，演化到选定时刻，再读出原子或某个波导格点。每次读出都是理想的、独立的破坏性快照，不是对同一个光子的反复监测。种子固定，每条结果都保留。

记录中的原子比例

\text{—}

95% Wilson 区间

\text{—}

最大归一误差

\text{—}

最大边界概率

\text{—}

数原子，也保留每个位置。

金柱为采样频率，青线为模型分箱积分，原子结果单列。完整保留 401 个格点。纵轴采用平方根刻度，刻度值仍为概率。

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试次	结果	格点位置

模型、单位与边界

\frac{H}{\hbar J}=\frac{\Delta}{J}|e\rangle\langle e|-\sum_x(|x+1\rangle\langle x|+\mathrm{h.c.})+\sum_j\frac{g_j}{J}(|e\rangle\langle x_j|+\mathrm{h.c.})

正位置沿阵列向右。格距为长度单位，近邻跃迁为频率单位，其倒数为时间单位。频率相对阵列带心，负失谐不表示负的绝对光子能量。初始仅原子带一个激发，采用旋波近似，波导为真空。制备后无驱动，不含反旋项、损耗、无序或末次快照之前的读出反作用。

401 个开边界格点，四阶 Runge–Kutta，时间步长 0.01，总时长 64。不裁剪或重归一量子态。显示范数误差和两端各八格的概率，用于检查数值损失与边界污染。采样仅用显示范数归一累积测量概率。

E_\pm-\Delta=\frac{g^2\operatorname{sgn}(E_\pm)}{\sqrt{E_\pm^2-4J^2}},\qquad Z_\pm=\left[1+\frac{g^2|E_\pm|}{(E_\pm^2-4J^2)^{3/2}}\right]^{-1}

保留无限链的两个束缚态。总束缚重叠等于它们原子权重之和；原子贡献的长时平均等于各权重平方之和。原子两侧各十二格只是有限观察区域，不是束缚态的精确投影。

原始文献

本页用单激发谐振器链建模；所引用的电路实验还涉及器件几何和双量子比特物理，这些本页没有模拟。

先抓重点

核心问题: 原子频率调进波导禁带后，为什么激发不会全部发射出去？
一句话直觉: 在传播带之外，原子与局域场共同形成缀饰本征态。

核心数学模型

单个激发的总概率

P_e(t)+\sum_x|\psi_x(t)|^2=1

理想快照读出时，激发要么在原子里，要么在波导的某个格点上，两者互斥。

有限传播带

\omega(k)-\omega_c=-2J\cos(ka)

上下带边离带心各两个跃迁单位。画面里的传播，也由同一个色散决定。

常见难点

云不是轨迹

容易误解激发分裂成了许多可以各自测量的粒子。

正确理解每次制备总共只有一个激发，重复快照才显出它的分布。波带高度显示的只是概率的平方根。

参考曲线从哪里来

容易误解参考曲线是用保存的样本重建出来的。

正确理解单个二能级原子耦合到理想谐振器阵列的一个格点上。哈密顿量采用旋波近似，只含一个激发，没有无序、吸收或其他衰减通道。无限长链的束缚态作为解析参考；某个有限时刻的局域云，本身并不等于测出了束缚态的总权重。

动手实验