单个电子 / 连续 STERN–GERLACH 效应

单电子 Penning 阱与自旋读出

怎样从单个被囚禁电子的运动频率，读出它的自旋？ 加一个弱磁瓶后，阱对电子的回复力会随自旋朝向略微变强或变弱，电子沿阱轴振动的频率于是分成两个很接近的值，自旋一翻转，频率就跳一下。一边扫描微波一边数翻转，就能找到自旋共振；再和实测的回旋频率相比，得到电子磁矩的大小。

先标定两个自旋态各自对应的轴向频率。再扫描微波共振，每次驱动前后各读一次轴向频率。最后把测到的几个阱频率合起来，求出电子磁矩的大小。

阱是理想的静态四极 Penning 阱。电子固定在轨道基态，弱磁瓶只取一阶。频率噪声是合成的白噪声，态制备是理想的，共振用唯象的非相干模型。不考虑腔体效应、相对论修正、热回旋激发、漂移和量子测量反作用，也不做精密测量里的系统修正。轨道画得放大了，动画只是示意。这里不复现精密的 g 因子结果。

静态囚禁，磁场轴竖直。电子轨道大幅放大并减速，不表达真实频率比。拾取电极感应镜像电流；电子不撞击探测器。

合成记录，观测全部保留

先制备，再驱动，然后再读出一次。

可以开始采集模拟数据了。

先记下六十四条标定记录，再交错扫描四十一个频率。每次试验都保留驱动前后的轴向频率偏移和三个实测阱频率。态制备是理想的，采集过程经过加速。三个阱频率通道来自单独的关磁瓶标定，固定的微波频率参考记在 CSV 中。

原始观测

原始数据就是频率跳变。

$i,\quad \nu_z-\nu_{z,0}\;(\mathrm{Hz})$

图中是前二百四十个驱动试验，不含标定；绿色为驱动前，棕色为驱动后。灰色虚线是保存的驱动后读数，超出当前绘图范围的部分被裁掉。CSV 保留完整记录，查看滑块可选一对记录。

按给定标定推断

只估计数据能分辨的量。

推断磁矩大小

\text{—}

拟合自旋共振偏移

\text{—}

重建回旋频率

\text{—}

标定轴向间隔

\text{—}

标定频率噪声

\text{—}

所查看的前后频率偏移

\text{—}

分类试验与二项拟合

定位微波响应。

$(\nu_d-\nu_{c,\rm ref})/\mathrm{MHz},\quad \widehat P_{\rm flip}$

用标定过的差分阈值给每对频率分类。二项似然拟合中心、宽度和驱动强度。误差条只表示计数尺度，不是置信区间；源磁矩不进入拟合。

检查记录

保留二项分布的偏差。

$r_i=\frac{k_i-n_i\widehat p_i}{\sqrt{n_i\widehat p_i(1-\widehat p_i)}}$

超过五个计数尺度的残差以红色边缘点显示；本图检查选定现象学响应，不是对基本磁学定律的检验。

查看最后八条原始记录

驱动偏移以兆赫计，轴向前后偏移以赫兹计。

序号	阶段	驱动	之前	之后

模型、装置与一手证据

\begin{aligned}\nu_\pm&=\frac{\nu_c\pm\sqrt{\nu_c^2-2\nu_z^2}}2\\\nu_c&=\frac{eB_0}{2\pi m_e}\end{aligned}

电四极场把电子束缚在轴向，静磁场让径向运动保持稳定。

\begin{aligned}B_y&=B_0+B_2y^2\\\Delta\nu_z&=\frac{2|\mu_e|B_2}{4\pi^2m_e\nu_z}\end{aligned}

磁瓶加上一个随自旋方向变化的磁恢复力，两个自旋态的轴向频率就不一样。轨道磁矩保持不变。

\begin{aligned}\widehat\nu_c&=\sqrt{\nu_+^2+\nu_z^2+\nu_-^2}\\\frac{|\widehat\mu_e|}{\mu_B}&=\frac{\nu_{c,\rm ref}+\widehat{\Delta\nu_d}}{\widehat\nu_c}\end{aligned}

实测的阱频率和拟合出的微波共振中心，一起给出磁矩大小。电子磁矩的方向与自旋相反。

正磁矩朝上，在正磁瓶中会降低轴向频率。图中制备的高频态磁矩为负，电子自旋方向与磁矩相反。不变的轨道贡献并入基准频率。微波场垂直于静磁场；频率读数来自理想标定的镜像电流估计，不是合成的电信号波形。

P_{\rm flip}=\frac12\left[1-\exp\!\left(\frac{-2A}{1+(\delta/w)^2}\right)\right]

示意源的驱动强度为一点五，线宽为两兆赫，再加上磁瓶系数每单位零点零二兆赫。这种唯象展宽只用来展示读出与线宽之间的取舍，不计算真实的磁瓶线形。二项似然用标定估计出的对称分类误差加以修正。标定太弱或拟合碰到边界时，不报告磁矩。

Dehmelt · Nobel lecture Fan et al. · Electron magnetic moment CERN · Trap and image-current readout

分子束质子磁矩测量台量子证据专题

先抓重点

核心问题: 怎样从单个被囚禁电子的运动频率，读出它的自旋？
一句话直觉: 模拟对源的设定是一回事，从记录数据里估出来的结果是另一回事，两者要分开。

核心数学模型

静态阱的运动频率

\begin{aligned}\nu_\pm&=\frac{\nu_c\pm\sqrt{\nu_c^2-2\nu_z^2}}2\\\nu_c&=\frac{eB_0}{2\pi m_e}\end{aligned}

电四极场把电子束缚在轴向，静磁场让径向运动保持稳定。

从轴向频率读出自旋

\begin{aligned}B_y&=B_0+B_2y^2\\\Delta\nu_z&=\frac{2|\mu_e|B_2}{4\pi^2m_e\nu_z}\end{aligned}

磁瓶加上一个随自旋方向变化的磁恢复力，两个自旋态的轴向频率就不一样。轨道磁矩保持不变。

由频率比求磁矩

\begin{aligned}\widehat\nu_c&=\sqrt{\nu_+^2+\nu_z^2+\nu_-^2}\\\frac{|\widehat\mu_e|}{\mu_B}&=\frac{\nu_{c,\rm ref}+\widehat{\Delta\nu_d}}{\widehat\nu_c}\end{aligned}

实测的阱频率和拟合出的微波共振中心，一起给出磁矩大小。电子磁矩的方向与自旋相反。

常见难点

模拟里已经写好了定律

容易误解能从数据里把源参数重新算出来，就独立验证了定律。

正确理解这些合成数据检验的是测量和推断的流程。它们不是历史观测，不给出参数的置信区间，也不算外部的科学认证。

动手实验