光学 083 · 光纤、结构光与现代波动光学

光纤从光线到模式

光纤里光线来回反射的图像，什么时候失效，必须改用模式来描述？ 纤芯只有几个波长粗的时候。由纤芯半径、波长和数值孔径算出的 V 数，决定能容纳多少个导模；V 数低于约 2.4 时只剩一个模式，用光线以不同角度来回反射的图像就说不通了。

在三维剖切光纤中改变纤芯半径，对照光线与波动两种图像。光线按 Snell 定律逸出，导模是带包层尾场的 Bessel 本征模，近场样本可以冻结。

归一化频率

V

$0.50$

几何数值孔径

\mathrm{NA}

$50\%$

所选导模传播参数

b

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

模型采用弱导标量近似，包层无限厚，折射率为假定的无色散值。只考察三族导模，不列出全部模式。几何测试光线单独计算。不涉及耦合和弯曲损耗，也不对应实测器件。

先抓重点

核心问题: 光纤里光线来回反射的图像，什么时候失效，必须改用模式来描述？
一句话直觉: 导模的场会伸进包层，传播常数介于两侧体折射率之间： $0<b=\frac{n_{\rm eff}^2-n_2^2}{n_1^2-n_2^2}<1$ 。接近截止时，尾场变得很宽，不会在纤芯壁处突然归零。图中三个模式族只是挑出来看的样本，不是全部模式。

核心数学模型

空气接受角与更长的几何光程

\begin{aligned}\sin\theta_{\max}&=\mathrm{NA}=\sqrt{n_1^2-n_2^2}\\n_1\sin\theta_{\rm core}&=\sin\theta_{\rm air}\\\delta t_{\rm ray}/L&=\frac{n_1}{c}(\sec\theta_{\rm core}-1)\end{aligned}

空气折射率取一。测试光线从中心射入，是子午光线。延迟把它在纤芯中的路径与无色散介质中的轴向光线相比，只是几何估计；光线逸出后，这个数就不再代表导光。

模式形状由边界匹配求出

\begin{aligned}u^2+w^2&=V^2\\u\frac{J_{\ell-1}(u)}{J_\ell(u)}&=-w\frac{K_{\ell-1}(w)}{K_\ell(w)}\\F_\ell(\rho)&=\mathcal N\begin{cases}J_\ell(u\rho),&\rho\le1\\J_\ell(u)\dfrac{K_\ell(w\rho)}{K_\ell(w)},&\rho>1\end{cases}\end{aligned}

归一化半径等于实际半径除以纤芯半径。普通 Bessel 函数和修正 Bessel 函数在边界上匹配场值和径向导数。显示的是实标量场，角向按余弦分布；简并的正弦取向和两个偏振方向在这里不另外计数。求根区间用已知的 Bessel 零点划定，紧贴截止处有一小段数值排除区，已写进文档。

归一化场与有限图像

\begin{aligned}\int_{\mathbb R^2}|\psi|^2\,d^2\rho&=1\\b&=w^2/V^2\\n_{\rm eff}^2&=n_2^2+b(n_1^2-n_2^2)\\P_{\rm crop}/P&\approx\sum_j |\psi_j|^2\Delta A_\rho\end{aligned}

弱导近似下，标量范数代表功率。归一化用纤芯内和无限尾场的 Bessel 积分。记录的图像保留原始采样和设置，裁剪区内的功率由这些像素求和得到。接近截止时，宽尾场可能伸出显示的方图。常用的高频模式数估计不当作精确计数。

群延迟属于导模，不属于测试光线

\begin{aligned}\eta_m&=P_{{\rm core},m}/P_m\\n_{g,m}&=\frac{n_2^2+\eta_m(n_1^2-n_2^2)}{n_{{\rm eff},m}}\\\tau_{g,m}/L&=n_{g,m}/c\end{aligned}

材料折射率无色散时，对标量 Helmholtz 本征值求导，得到模式平均折射率平方除以有效折射率。表中扣除了体包层中的传播，延迟差只统计已解出并检查的模式族。接近截止时，纤芯功率占比和群延迟一起变化。这不是材料色散，不是对完整模式谱的脉冲计算，也不是从光强图反推出来的延迟。

常见难点

过了著名的截止值，基模就消失了吗？

容易误解低于第一个截止值，光纤就导不了光。

正确理解第一个高阶 LP 模式族在普通 Bessel 函数的第一个零点截止。在包层无限大的理想模型里，基模没有正的截止值。真实光纤的包层有限，束缚弱时仍可能产生很大的弯曲损耗或泄漏损耗；本模型不预测这些损耗。

动手实验

01
场景 1：基模仍被导引
从细纤芯开始。选第一个高阶模式族，端面是空的；再回到基模，它仍被导引。
你会看到： 实验室 X 是光纤的直轴，Y 竖直，Z 与它们构成横截面。半径指纤芯半径，不是直径。真空波长以纳米输入，半径以微米输入。纤芯折射率固定为一点四六，包层比它低一个可调的差值。这些是假定的无色散教学值，不是石英的 Sellmeier 拟合。
02
场景 2：双波瓣导模
增大纤芯半径，看圆柱界面和本征值一起变化。选一个双瓣模式，转动波瓣轴，传播常数不变。
你会看到： 空气中的入射角从光纤轴量起；全反射的入射角从纤芯壁的法线量起。可见的光纤长五百微米，纵向和横向用不同的绘图比例。外层包层表面只是剖切出来的一块。光线碰壁而没有全反射时，只追踪透射的几何方向，直到剖切边缘；部分反射的 Fresnel 分支忽略不计。
03
场景 3：径向节点与光线逸出
采集一张端面像，改变波长，再比较冻结像和实时像。另外，把琥珀色测试光线移出接受锥：它会折射进包层，不再一直反射下去。
你会看到： 每个导模都单独理想地激发，与测试光线无关，并在无限包层上归一化。端面像按像素面积对场的平方取样，不推断光线怎样耦合进导模。剖切的实体端面和放大的数据图显示同一个场，放大的方图伸进理想包层更远。显示用固定的平方根曲线，不自动曝光。几何额外延迟不是模式群延迟，也不是脉冲展宽模拟。

光纤从光线到模式

检验光纤从光线到模式的物理过程

核心数学模型

空气接受角与更长的几何光程

模式形状由边界匹配求出

归一化场与有限图像

群延迟属于导模，不属于测试光线

常见难点

过了著名的截止值，基模就消失了吗？

动手实验

场景 1：基模仍被导引

场景 2：双波瓣导模

场景 3：径向节点与光线逸出

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