光学 084 · 光纤、结构光与现代波动光学

光纤脉冲传播

超短脉冲在光纤里传播时，色散怎样改变它的形状？ 群速度色散让不同频率跑得不一样快。不带啁啾的脉冲越传越宽，频率在脉冲里按先后排开。预先带上相反啁啾的脉冲，色散会先把它压短，压到最短后再展宽。在零色散波长附近，高阶色散起主导作用，脉冲形状随之变形。

在三维光纤中传播脉冲：石英色散用 Sellmeier 公式，基模由边界匹配求出。可以追踪完整的频谱相位，压缩啁啾脉冲，施加理想补偿，并冻结复数样本。

补偿后中心均方根时宽

\sigma_T

$0.50$

总导模群速度色散

\beta_2

$50\%$

输出／输入积分能量

E_{\rm out}/E_{\rm in}

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

模型已对照解析结果检验

光纤脉冲传播

实际光纤长度

L

15\,\mathrm m

真空载波波长

\lambda_0

1550\,\mathrm{nm}

变换极限高斯振幅宽度

T_0

250\,\mathrm{fs}

输入频谱啁啾；正值为红先蓝后

C

0

固定数值孔径下的实际纤芯半径

a

3\,\mu\mathrm m

理想输出补偿器群延迟色散

G

0\,\mathrm{ps}^2

沿光纤检查位置

z/L

60\%

脉冲可以展宽而不损失能量；各种颜色同时到达时，它又会压缩。让同一个复数频谱沿阶跃折射率光纤的导模传播，纤芯半径按实际设定，移动零色散点，采集补偿后的输出。相位的某一阶导数为零，不代表更高阶的相位也消失了。

光纤无损、线性，按标量处理；数值孔径为假定的固定值，包层无限厚。脉冲能量归一化为一。不考虑非线性效应，也不对应经过标定的器件。场景里的几何尺寸和波包时间都按示意做了变换。

物理教程

检验光纤脉冲传播的物理过程

背景短脉冲里有许多频率。它们走的是同一个导模，积累的相位却各不相同。在随脉冲移动的坐标系里，频谱按下式演化： $\widetilde A(z,\Omega)=\widetilde A(0,\Omega)e^{i[\beta(\omega_0+\Omega)-\beta_0-\beta_1\Omega]z}$ 。波形就是传播后这个复数频谱的 Fourier 叠加。

为什么值得理解超短脉冲在光纤里传播时，色散怎样改变它的形状？

先抓重点

核心问题: 超短脉冲在光纤里传播时，色散怎样改变它的形状？
一句话直觉: 纤芯半径变了，光被束缚的程度就变，传播随频率的变化也跟着变。二阶色散由两部分组成： $\beta_2=\beta_{2,\rm material}+\beta_{2,\rm waveguide}$ 。两者之和为零时，二阶相位项抵消，高阶项仍然存在。本实验在每个采样频率上都保留完整的导模相位。

核心数学模型

一个色散关系，两种贡献

\begin{aligned}n_1^2-1&=\sum_{j=1}^3\frac{B_j\lambda^2}{\lambda^2-C_j^2}\\n_2^2&=n_1^2-\mathrm{NA}^2\\\beta(\omega)&=\frac{\omega}{c}\sqrt{n_2^2+b(V)\mathrm{NA}^2}\\V&=\frac{a\omega}{c}\mathrm{NA}\end{aligned}

纤芯采用已发表的熔融石英系数。包层关系是假定的，不是拟合出来的。在纤芯边界上匹配普通 Bessel 函数和修正 Bessel 函数，得到归一化传播常数。波导色散的定义是：先从传播常数中减去体纤芯的贡献，再求导。

符号约定、群延迟与随动时间

\begin{aligned}E^{(+)}&=A(z,T)e^{i\beta_0z-i\omega_0t}\\T&=t-\beta_1z,\quad \beta_j=\frac{d^j\beta}{d\omega^j}\\v_g&=\beta_1^{-1},\quad \tau_g=\beta_1L\\A(z,T)&=\frac1{2\pi}\int\widetilde A(z,\Omega)e^{-i\Omega T}\,d\Omega\end{aligned}

这里的复数约定与 MIT 讲义互为共轭，频谱传播中的所有符号都相应换过。局部频偏为正，等于包络相位导数取负。去掉载波相位和群延迟只是换了坐标，不改变能量，也不改变展宽。

压缩取决于啁啾符号，也有下限

\begin{aligned}\widetilde A(0,\Omega)&\propto e^{-T_0^2\Omega^2/2}e^{iCT_0^2\Omega^2/2}\\\sigma_T^{(2)}(L)&=\frac{T_0}{\sqrt2}\sqrt{1+\left(C+\frac{\beta_2L+G}{T_0^2}\right)^2}\\\sigma_{T,\rm TL}&=T_0/\sqrt2\end{aligned}

这里的啁啾定义为频谱二阶相位除以变换极限宽度的平方，不是在固定输入强度时宽下定义的时域啁啾参数。这个式子是只保留二阶相位的独立对照，不是波形求解器。理想输出补偿器只增加群延迟色散，不改变频谱，高阶残余仍然存在。

从样本读取能量与时宽

\begin{aligned}E&\approx\sum_k|A_k|^2\Delta T\\\langle T\rangle&=E^{-1}\sum_kT_k|A_k|^2\Delta T\\\sigma_T^2&=E^{-1}\sum_k(T_k-\langle T\rangle)^2|A_k|^2\Delta T\end{aligned}

Parseval 定理把同一个脉冲的采样复数频谱和时间记录联系起来。每条曲线的强度都不单独重新归一。有限时间窗按最宽的情况扩大，并检查窗口边缘的能量；回卷过多时，模型会给出标记，不把结果当作有效脉冲。

常见难点

零色散就意味着毫无变形吗？

容易误解在零色散波长处，所有频率的群延迟都相同。

正确理解那里只是群延迟的局部斜率为零，三阶及更高阶导数依然存在。调到模型的零色散点，换更短的脉冲，看看剩下的不对称畸变。只加二阶相位的补偿器一般去不掉它。

动手实验

01
场景 1：材料色散
从材料色散开始，增加光纤长度。脉冲展宽，峰值下降，总能量和频谱却不变。
你会看到： 光纤沿实验室 X 轴放置。距离用米，随动时间用皮秒，载波波长用纳米。时宽控制设定的是变换极限高斯脉冲的振幅宽度，不是加了啁啾后的实际脉宽。宽度读数用强度关于中心的均方根宽度，对非高斯输出同样适用。
02
场景 2：啁啾脉冲补偿
选啁啾脉冲补偿。输入脉冲红光在前、蓝光在后，总色散为反常色散时，各频率重新聚到一起。换成相反的啁啾比较一下，再在输出端抵消二阶相位。
你会看到： 纤芯折射率采用 Malitson 给出的二十摄氏度体熔融石英数据。包层假定折射率平方比纤芯低一个固定值，对应数值孔径零点一二。每个保留的频率都单独求解标量基模。它不是实测的掺杂光纤，也不是全矢量解。所选载频范围低于第一个高阶标量模的截止。
03
场景 3：零色散点穿越
调到模型的零色散点。改变纤芯半径，看零点怎样移动。拖动传播图，查看光纤中段的啁啾。然后采集输出样本，再改设置，已采集的样本保持不变。
你会看到： 三维装置把米压缩成场景单位，又把微米级的纤芯放大。屏幕上波包的速度和长度只是显示变换，不是群速度的测量。定量的时间信息看单独的随动时间图和延迟读数。能量归一为一只是数学约定；非线性功率效应、损耗、有限包层和探测器响应都没有考虑。

光纤脉冲传播

检验光纤脉冲传播的物理过程

核心数学模型

一个色散关系，两种贡献

符号约定、群延迟与随动时间

压缩取决于啁啾符号，也有下限

从样本读取能量与时宽

常见难点

零色散就意味着毫无变形吗？

动手实验

场景 1：材料色散

场景 2：啁啾脉冲补偿

场景 3：零色散点穿越

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