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Sandbox Physics

光学 013 · 光线世界、界面与自然光学

梯度折射率几何观测站

体积式 GRIN 观测站求解归一化矢量光线方程，而不是拼接装饰曲线。精确抛物平板揭示正弦节距与中继面；三维 Luneburg 球把准直光束聚到正对侧表面；Maxwell 鱼眼把点源光线映射到立体投影对跖点。解析轨迹、公开剖面、焦点残差与 Noether 不变量共同审查同一批渲染光路。

交互模型梯度折射率几何观测站
节距或折射率反差 G\mathcal G0.500.50
中继或成像残差 F\mathcal F50%50\%
精确解或不变量审查 εaudit\varepsilon_{\mathrm{audit}}0.00π0.00\pi
模型适用区间模型适用\text{模型适用}

物理教程

审查梯度折射率几何观测站的物理过程

背景梯度折射率元件即使没有跨越材料界面，也会在每一点使光线弯曲。以弧长为路径参数时，控制方程为 dds ⁣(nt^)=∇n\frac{\mathrm d}{\mathrm ds}\!\left(n\hat{\mathbf t}\right)=\nabla n。装置积分它的归一化矢量形式，因此位置与单位方向会在半透明层所显示的精确折射率地形中同步演化。

为什么值得理解同一个连续折射率场怎样在没有隐藏界面的情况下中继光线、全方向聚焦，或把平面曲线变成球面大圆？

先抓重点

核心问题
同一个连续折射率场怎样在没有隐藏界面的情况下中继光线、全方向聚焦，或把平面曲线变成球面大圆？
一句话直觉
折射率场的对称性提供了第二条证据。平板中的平移对称与径向透镜中的旋转对称分别要求 px=ntx=const.,Lz=n(r×t^)z=const.p_x=n t_x=\mathrm{const.},\qquad L_z=n(\mathbf r\times\hat{\mathbf t})_z=\mathrm{const.}。这些常数会沿每条数值光线计算；即便曲线视觉上很像，只要违反守恒就会被判定不合格。

核心数学模型

归一化连续折射率光线方程

drds=t^,dt^ds=∇n−t^(t^ ⁣⋅ ⁣∇n)n,∥t^∥=1\frac{\mathrm d\mathbf r}{\mathrm ds}=\hat{\mathbf t},\qquad \frac{\mathrm d\hat{\mathbf t}}{\mathrm ds}=\frac{\nabla n-\hat{\mathbf t}(\hat{\mathbf t}\!\cdot\!\nabla n)}{n},\qquad \lVert\hat{\mathbf t}\rVert=1

只有垂直于当前传播方向的折射率梯度分量会使光线弯曲。四阶 Runge-Kutta 同时推进两个矢量，并在每一步后重新归一化方向。

精确抛物中继

n2(y)=n02 ⁣(1−g2y2),y(x)=y0cos⁡ ⁣(n0gpxx),P=2πpxn0gn^2(y)=n_0^2\!\left(1-g^2y^2\right),\qquad y(x)=y_0\cos\!\left(\frac{n_0g}{p_x}x\right),\qquad P=\frac{2\pi p_x}{n_0g}

该平方根剖面具有精确正弦光线，而不仅是近轴示意。解析高度与节距会独立审查数值轨迹和四分之一节距中继面。

绝对光学仪器剖面

nL(r)=2−r2R2,nM(r)=21+r2/R2,rimage=−R2∥rsource∥2rsourcen_{\mathrm L}(r)=\sqrt{2-\frac{r^2}{R^2}},\qquad n_{\mathrm M}(r)=\frac{2}{1+r^2/R^2},\qquad \mathbf r_{\mathrm{image}}=-\frac{R^2}{\lVert\mathbf r_{\mathrm{source}}\rVert^2}\mathbf r_{\mathrm{source}}

规范 Luneburg 球把平面波映射到正对侧表面。Maxwell 剖面是均匀球面的立体投影平面像，因此球面大圆映射为在投影对跖点相交的弯曲光线。

常见难点

把彩色层壳误读成隐藏界面

容易误解每个可见色带都是独立玻璃表面，因此光线其实是经历许多次 Snell 折射的折线，平滑曲线只是装饰。

正确理解这些色带只是为了显露同一个解析场而取的样本。求解器在每个 RK4 子步计算连续折射率及其梯度；介质内部不存在表面，也不存在离散折射事件。

动手实验

  1. 01

    场景 1：精确抛物 GRIN 中继

    在抛物中继场景中拖动发射偏移并改变剖面强度。追踪五条独立积分光线，对比节距与四分之一节距读数，并确认解析解与 RK4 的残差保持很小。

    应该观察到： 增大剖面强度会增强横向回复曲率，从而缩短振荡节距。平移入射光束会改变其相空间轨道，却不会凭空产生新界面。
  2. 02

    场景 2：Luneburg 对侧表面聚焦

    切换到规范强度的 Luneburg 球，环绕观察嵌套等折射率球壳，并看七条平行光线在正对侧表面靶点会合；随后把强度移离规范值，测量如实变化的光斑残差。

    应该观察到： 在规范强度下，表面折射率严格为一，中心折射率为二的平方根。每条采样平面光线都会到达同一个对侧表面点；剖面变形会可见地破坏这一绝对光学仪器条件。
  3. 03

    场景 3：Maxwell 立体投影对跖点

    进入 Maxwell 平面并移动光源，找出由立体投影反演得到的靶点。利用深度把扇形光线分开，并确认在对跖点重聚的是实际弯曲光线，而不是光源到靶点的虚线弦。

    应该观察到： Maxwell 光源与像点通常不是欧氏镜像点，而是立体投影对跖点；拖动光源时，它们的反半径关系会使靶点非线性移动。