光学 013 · 内部没有界面的玻璃怎样弯折光

梯度折射率光学观测站

折射率连续变化的介质，内部没有任何界面，怎样引导和聚焦光线？ 折射率连续变化，光线一路都在弯，用不着隐藏的界面。折射率从中心向外按抛物线下降的平板里，光线来回摆动，一次次重新成像。平行光不论从哪个方向射进 Luneburg 球，都会聚到球另一侧的表面上。Maxwell 鱼眼则把一点发出的所有光线送到对面那一点。

让一束闪光穿过 Luneburg 透镜、Maxwell 鱼眼、渐变平板和激光写入的折射率斑，看它的光线在哪里重新相会。

闪光最窄处：这种分布 / 均匀玻璃 $\text{—}$

到焦点的光程 $\text{—}$

焦点处光程的离散：这种分布 / 均匀玻璃 $\text{—}$

介质中的折射率 $\text{—}$

焦点位置 $\text{—}$

光学动量大小偏离当地折射率的最大漂移 $\text{—}$

守恒的角动量或轴向动量的最大漂移 $\text{—}$

这次记录追踪的光线数 $\text{—}$

光线按几何光学在平面内追踪，不计衍射、色散、吸收和偏振。只有几个波长大的真实透镜，焦点会被衍射展宽：Ocier 等人（Light: Science & Applications 9, 196, 2020）用 SCRIBE 写出的 Luneburg 透镜，焦斑宽约 0.4 µm。长度以 R 为单位：透镜或镜面的半径、平板纤芯的半宽，或写入平板的单位长度。几何光学本身没有长度尺度，同样的光线在任何尺寸下都成立。Luneburg 透镜放在空气里，折射率从中心的根号 2 降到边缘的 1；对比度参数缩放折射率平方超出 1 的部分。Maxwell 鱼眼按 Leonhardt（New Journal of Physics 11, 093040, 2009）的做法在边缘加一面镜子，于是一点的像落在它关于中心的对称点上。两种平板轴上折射率都是 1.6，轴上曲率也相同；双曲正割分布让平面内每条光线每半个周期都精确地重新成像，抛物线分布只对靠近轴的光线做到这一点，这正是 Gloge 和 Marcatili（Bell System Technical Journal 52, 1563, 1973）为渐变折射率光纤算出的效应。纤芯边缘的折射率降到 1 时，平板的分布就不再变陡。写入的斑是在折射率 1.28 的未填充多孔硅骨架上叠加一个高 0.25 的高斯隆起，落在 Ocier 等人用激光在孔隙里固化聚合物所达到的 1.28 到 1.85 范围之内；它只是一个斑，不是访客可以随意涂画的图案。每次记录在渐变介质里追踪 121 条光线，再让同样的 121 条光线穿过峰值折射率相同的均匀玻璃，它只在表面弯折光线；场景里每五条画一条。四阶 Runge–Kutta 积分让每条光线光学动量的大小始终等于当地折射率，守恒的角动量或轴向动量保持不变，误差都小于十亿分之一。

物理教程

用内部没有界面的玻璃聚焦光

背景折射率越高的玻璃里，光走得越慢。普通透镜内部只有一个折射率，只在前后两个表面弯折光。梯度折射率玻璃则让折射率逐点平滑地变化。

为什么值得理解在这样的玻璃里，光线一路都在弯，弯向折射率更高的一侧。Luneburg 和 Maxwell 找到过一些折射率分布，能把一点发出的所有光线送到另一点；渐变折射率光纤用的分布与它们类似，好让光脉冲不被拉长。2020 年起，人们还能用飞秒激光在多孔硅薄膜内部逐点设定折射率：激光让孔隙里固化多少聚合物，那里的折射率就有多高（Ocier 等人 2020）。

先抓重点

核心问题: 一束平行光射进一个球，球的折射率从中心的根号 2 降到边缘的 1。为什么光束里每条光线都聚到对面边缘的同一点？
一句话直觉: 设想光源在某一刻发出一次闪光。没有色散时，经过时间 $t$ ，每条光线走过的光程 $L=\int n\,\mathrm{d}s$ 都相同，光程相等的那些点就是这次闪光。介质完美成像，就是闪光收成一个点：每条光线都走过同样的光程到达像点。在 Luneburg 透镜里，沿轴的光线路程最短，却穿过最密的玻璃；外侧的光线走得更远，穿过的玻璃更稀，两者恰好抵消。

核心数学模型

渐变介质里的光线

\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}\sigma}=\mathbf{p},\qquad\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}\sigma}=\tfrac12\nabla n^2,\qquad|\mathbf{p}|=n

光学动量 $\mathbf{p}=n\hat{\mathbf{t}}$ 沿光线方向，参数 $\sigma$ 每步增加 $\mathrm{d}s/n$ 。光线弯向 $n$ 更高的地方。这组方程和一个能量为零的粒子在势 $-n^2/2$ 里的运动方程完全一样，所以光线会滚进高折射率的区域，就像弹珠滚进碗底。光程是 $L=\int n^2\,\mathrm{d}\sigma=\int n\,\mathrm{d}s$ 。

Luneburg 透镜

\begin{gathered}n(r)=\sqrt{1+c\,(1-r^2)}\quad(r\le1)\\L_{\mathrm{lens}}=\int_{-1}^{1}\sqrt{2-x^2}\,\mathrm{d}x=1+\frac{\pi}{2}\end{gathered}

$c=1$ 时折射率是 $\sqrt{2-r^2}$ ：中心为根号 2，边缘为 1，光从空气射进来不会反射。透镜内部 $n^2=1+c-c\,r^2$ 是一个谐振子势，每条光线都是一段椭圆。平行光聚到入射点对面的边缘上；沿轴光线在透镜里的光程是半径的 $1+\pi/2$ 倍，其余每条光线都与它相等。分布更陡（ $c>1$ ）时仍然完美聚焦，焦点在离中心 $1/\sqrt{c}$ 处。

带镜子的 Maxwell 鱼眼

\begin{gathered}n(r)=\left(\frac{2}{1+r^2}\right)^{c}\\z_0\;\longrightarrow\;-z_0\quad(L=\pi)\end{gathered}

$c=1$ 时，从点 $z_0$ 发出的每条光线都是一段圆弧，经过 $z_0$ 和 $-z_0/|z_0|^2$ 。在 $r=1$ 处放一面镜子，把第二个点折回圆内，于是从 $z_0$ 出发的每条光线走过光程 $\pi$ 后都经过 $-z_0$ ，走过 $2\pi$ 后回到 $z_0$ （Leonhardt 2009）。

轴心相同的两种平板

\begin{aligned}n&=n_0\,\mathrm{sech}(gy)\\\sinh(gy)&=a\sin(gx+\varphi)\\[6pt]n^2&=n_0^2\,(1-g^2y^2)\\y&=\frac{\sin\theta_a}{g}\,\sin\!\left(\frac{g\,x}{\cos\theta_a}\right)\end{aligned}

两种平板都是 $n_0=1.6$ ，轴上曲率也相同。sech 平板里，不论光线陡还是缓， $\sinh(gy)$ 都像单摆一样以周期 $2\pi/g$ 摆动，所以每半个周期光源都被精确地重新成像。抛物线平板里，以角度 $\theta_a$ 穿过轴的光线周期是 $2\pi\cos\theta_a/g$ ：陡的光线折返得早，像就模糊了。

写入的折射率斑

n=n_{\mathrm{b}}+\delta\,e^{-r^2/w^2},\qquad f\approx\frac{w\,n_{\mathrm{b}}}{2\sqrt{\pi}\,\delta}

在折射率 $n_{\mathrm{b}}$ 的玻璃里叠加一个宽 $w$ 、高 $\delta$ 的弱高斯隆起，高度 $h$ 很小的光线会被偏转 $2\sqrt{\pi}\,\delta h/(w\,n_{\mathrm{b}})$ ，所以它是一个焦距为 $f$ 的薄透镜。实验里的斑在折射率 1.28 的多孔硅上隆起 0.25；那里能写出的范围是 1.28 到 1.85（Ocier 等人 2020）。

常见难点

光弯折不一定需要表面

容易误解光一直走直线，碰到表面才拐弯。

正确理解只有折射率均匀的地方，光才走直线。折射率在光线两侧不一样时，光线会一路弯向折射率更高的一侧，场景里的起伏就画出了这一点。

光线走的不是最短路程

容易误解到达焦点的每条光线都走最短的路。

正确理解到达完美焦点的光线光程相等，长度并不相等。看五条光线沿途折射率的那张图：外侧的光线更长，但穿过的折射率更低，每条曲线下的面积都一样。

抛物线分布不是完美透镜

容易误解抛物线折射率分布能让每条光线精确成像。

正确理解只有在光线贴近轴的极限下它才精确成像。轴心相同的 sech 分布才能让平面内每条光线都成像；抛物线平板这点小误差，就是 Gloge 和 Marcatili（1973）为渐变折射率光纤算出的残余时延差。

动手实验

01
看闪光收拢
保持默认预设"Luneburg 透镜：平行光聚到对面边缘"，看金色闪光穿过透镜。
你会看到： 闪光中间先向前凸出，随后在对面边缘收成一点。121 条光线走过同样的光程 3.17 R 后在那里相会；闪光最窄处不到 R 的一万亿分之一，这是积分本身的精度。峰值折射率同为 1.41 的均匀球，会让它们散开 0.027 R。
02
转动光束
把光束倾斜到 25°，或者横向拖动它。
你会看到： 焦点沿边缘滑到光束新方向正前方的那一点，光程仍是 3.17 R。透镜从哪个方向看都一样，所以对哪个方向都能聚焦。
03
让分布更陡
载入"更陡的分布：焦点移进透镜"。
你会看到： 对比度为 1.5 时，光线仍交于一点，只是移到离中心 0.82 R 处，落在玻璃内部。反过来把对比度降到 0.6，焦点移到 1.36 R 处，并模糊到 0.005 R。
04
在鱼眼里给一个点成像
载入"Maxwell 鱼眼：每条光线都到达像点"。
你会看到： 光源在 (−0.45, 0.30) R，光线朝各个方向散开，被镜子反射后，走过光程 3.14 R 时全部经过 (0.45, −0.30) R，然后回到光源。折射率为 2 的均匀圆盘最多只能把它们聚到 0.22 R 以内。
05
比较两种平板
先载入"sech 平板：光源被精确地重新成像"，再载入"抛物线平板：陡的光线提前汇聚"。
你会看到： sech 平板里，每条光线走过同样的光程，在 4.19 R 处到达像点，也同时到达末端面；峰值折射率相同的阶跃折射率平板，末端面上的光程相差 14 %。抛物线平板里陡的光线折返得早：闪光最窄处在 3.54 R，宽 0.081 R，末端面上的光程相差 5.1 %。
06
写出一个透镜
载入"激光写入的斑：没有表面的透镜"。
你会看到： 一个高斯形的折射率斑把光束弯成焦点，落在斑中心后方 1.48 R，宽 0.050 R。用斑的峰值折射率做成的均匀圆盘略差一些，是 0.057 R。两者都不完美，因为单个斑并不是 Luneburg 分布。

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用内部没有界面的玻璃聚焦光

核心数学模型

渐变介质里的光线

Luneburg 透镜

带镜子的 Maxwell 鱼眼

轴心相同的两种平板

写入的折射率斑

常见难点

光弯折不一定需要表面

光线走的不是最短路程

抛物线分布不是完美透镜

动手实验

看闪光收拢

转动光束

让分布更陡

在鱼眼里给一个点成像

比较两种平板

写出一个透镜

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