量子证据 / 电荷

油滴电荷测量台

怎样从油滴的运动算出它带多少电荷？ 比一比关掉和打开电场时它的速度。关掉电场，油滴匀速下落时，空气阻力正好抵消重力减去浮力，从这个速度就能算出油滴多大。打开电场，速度一变，就知道电场力有多大，电荷也就算出来了。热运动让油滴不停地随机晃动，每次估出的电荷都会有些散布。

跟踪一颗带负电的油滴，分别记下关电场和开电场时它怎么动。把重力、浮力、黏滞阻力和热运动的影响分开，再从记录里估计电荷，得到的是一个连续的数值。

油滴是球形矿物油滴，做模拟的过阻尼运动。模型用了一个随气压变化的简单滑移修正，电场理想均匀，相机已经标定。电荷大小可以连续调节，估计时也不假定电荷是整数倍。这是一个测量模型，不复现 Millikan 的历史记录，也不能独立证明电荷量子化。

极板间距五毫米，油滴半径画得大了很多。油滴高度跟随最新一帧相机记录，相机跟踪是理想化的。照明光从侧面散射进显微镜。

观测并保留记录

一颗油滴，两段轨迹。

关场和开场两段轨迹相互独立，各自从中面出发。物理时间每步前进零点一秒，播放是加速的。油滴碰到极板时，这段轨迹结束，也不再报告估计值。

就绪。先预测，再采集。

相机高度（微米）

在热运动下辨认漂移。

$t/\mathrm{s},\quad z/\mathrm{\mu m}$

青色：关场；金色：开场。点与实线是相机记录，细虚线是源平均漂移，紫色虚线是端点漂移估计，灰色是保存记录。

推断时不读取源参数

连续的电荷估计。

估计电荷大小

\text{—}

估计半径

\text{—}

仅 Stokes 电荷

\text{—}

关场漂移 · 估计

\text{—}

开场漂移 · 估计

\text{—}

记录帧数

\text{—}

$\Delta z/\mathrm{\mu m}$

下图显示含相机噪声的原始逐帧位移。Brownian 轨迹上的位置误差彼此相关；漂移读数附带代入估计的标准误，但不是电荷的置信区间。

与保存的实验比较

最近六条原始观测
#	阶段	时间 / 秒	高度 / 微米

CSV 包含原始观测、种子、单位和源／仪器设置；源设置只是模拟器元数据，不参与反向估计。当前页面会话内可以保存一组实验。

模型及其依据

这次测量省略了什么。

\Delta z=v\Delta t+\sqrt{2D\Delta t}\,\xi,\quad \xi\sim\mathcal N(0,1)

静止空气中不蒸发的球形油滴，温度 293.15 K。油密度每立方米 886 千克、空气密度 1.2，黏度 0.0000182 Pa s，滑移系数 0.0082 Pa m。温度、黏度、密度、间距与电压标定视为精确；不考虑气流、蒸发、瞬态惯性、电荷跳变、图像模糊和边缘场。每帧相机噪声零点三微米。原始热运动轨迹由模拟生成，不是历史计时数据。

PASCO · AP-8210A manual · 提供装置、滑移模型和名义油密度；相机采集的 Brownian 运动是本页另外加入的模型。

阅读历史证据比较磁矩

先抓重点

核心问题: 怎样从油滴的运动算出它带多少电荷？
一句话直觉: 模拟预设了什么，你从记录里估计出了什么，这两件事要分开。

核心数学模型

油滴的漂移速度和扩散

\begin{aligned}v&=\frac{QU/d-W}{\zeta}\\W&=\frac{4\pi a^3}{3}(\rho_o-\rho_a)g\\D&=\frac{k_BT}{\zeta}\end{aligned}

高度向上为正。油滴带负电，式中用电荷的大小，乘以上板相对下板的电压。电压为正时，电力向上。

带滑移修正的油滴半径

\begin{aligned}c&=b/p,\quad R=\frac{9\eta v_f}{2(\rho_o-\rho_a)g}\\a&=\sqrt{c^2/4+R}-c/2\\\zeta&=\frac{6\pi\eta a}{1+c/a}\end{aligned}

半径由关场时的下落速度求出。式中气压以帕为单位。只用 Stokes 阻力的分析，用的也是同一批记录。

由两段漂移求电荷

\widehat Q=\widehat\zeta\,(\widehat v_{\rm on}-\widehat v_{\rm off})\frac dU,\quad \widehat v=\frac{z(T)-z(0)}T

估计不读取输入电荷，也不取整。每段漂移速度只用轨迹两端的位置算，顾及了 Brownian 运动中各位置之间的相关性。

常见难点

模拟里本来就写好了定律

容易误解只要找回模拟设定的参数，就算独立验证了这条定律。

正确理解这些模拟记录检验的是测量和推断的方法。它们不是历史观测，不是参数的置信区间，也不算外部的科学认证。

动手实验

01
记录两段轨迹
采集一段关场轨迹和一段开场轨迹，每段都从中间平面重新开始。
你会看到： 比较两段轨迹各朝哪个方向漂移，以及热运动带来的随机游走。
02
关掉滑移修正
采集完成后关掉滑移修正，记录不要清空。
你会看到： 换一个阻力模型，同样的运动就给出不同的半径和电荷。
03
试一试连续电荷
保存一组记录，选“连续电荷对照”后重新采集。
你会看到： 估计值跟着模拟里预设的连续电荷走。模拟出来的结果，不能用来证明电荷是量子化的。

油滴电荷测量台

一颗油滴，两段轨迹。

在热运动下辨认漂移。

连续的电荷估计。

这次测量省略了什么。