FR21 · 生长与稀释

生长域上的斑图

承载图案的区域长大后，浓度会怎样变？ 区域长大会拉长已有图案，也会把物质摊到更大的面积上。即使总量没变，浓度也会降低，反应速度和接下来长出的图案都会受影响。

让已经长出斑点的方域继续扩张，观察旧斑点拉开、新斑点补入。比较浓度和总量，关掉反应后单独查看稀释。

模型假设

周期材料方域均匀指数扩张。扩散使用当前物理网距，两种浓度都随面积增加而稀释。边长到初始值的 1.7 倍后停止扩张，不模拟组织力学或细胞分裂。

生长时刻

10

平均浓度

1

激活组分总量

256

物理边长

18.6

模拟记录与解析参考

面积增大，浓度随之稀释

青线是平均激活组分浓度，金线是激活组分总量，均除以制备时的数值。反应会改变总量；切到“总量守恒”预设可移除全部补给与消耗。

主图采用固定色标：零为深蓝，一附近为青色，2.5 及以上为金色。相对两边彼此相接。

先抓重点

x=L(t)\xi,\qquad y=L(t)\eta,\qquad g=\frac{\dot L}{L}

材料坐标留在原来的材料点上，物理坐标随方域扩张。长度与时间均无量纲，生长率表示单位时间内边长增加的比例。

\left.\partial_t u\right|_{\xi,\eta}=\frac{D_u}{L(t)^2}\nabla_{\xi,\eta}^2u+f(u,v)-2gu

稀释项中的二来自两个方向同时生长。底物也有同样的稀释项，但使用自己的扩散率和反应速率。

M_u=L(t)^2\langle u\rangle,\qquad \frac{dM_u}{dt}=L(t)^2\langle f(u,v)\rangle

周期边界下，扩散只在区域内部搬运物质。关掉全部反应后，总量保持不变，浓度仍会随面积变化。

容易误解颜色变暗，说明化学物质变少了。

正确理解区域扩张也能让颜色变暗。用平均浓度乘上当前面积，才能判断物质总量有没有减少。

容易误解反应参数没动，平均浓度应该维持原值。

正确理解生长持续稀释两种组分，反应速率随浓度改变。新的补给、消耗与稀释平衡可能偏离固定区域中的稳态。

01
同时看浓度与总量
从“图案随域生长”开始，比较青线和金线。
你会看到： 面积不断改变，反应也在继续，浓度与总量会走出不同的曲线。
02
去掉补给和消耗
选择“总量守恒”。
你会看到： 金线保持在一，青线随方域扩张而下降。这次浓度下降完全来自稀释。
03
固定区域作为比较
依次选择“固定区域”和“快速扩张”。
你会看到： 固定区域保留原来的物理间距。生长会拉伸旧图案，也会改变区域内能容纳哪些物理波长。