M099 · 流体力学

表面张力与毛细实验室

液体在细管里升多高，能分清表面张力和润湿吗？ 分不清。细管里液面升多高，只取决于表面张力乘以接触角的余弦，也就是润湿张力。张力小但很润湿的液体，和张力大但不太润湿的液体，可能升得一样高，光看高度拆不开这两样。

比较五根粗细不同的毛细管，看每根管里真实的球面弯月面，并在施加的前进角和后退角之间切换。采集体积平均高度，推出润湿张力。

体积平均高度 $\text{就绪}$

弯月面中心高度 $\text{就绪}$

接触线高度 $\text{就绪}$

施加的分支接触角 $\text{就绪}$

液体减气体压力跃变 $\text{就绪}$

管径 Bond 数 $\text{就绪}$

有符号竖直张力 $\text{就绪}$

力平衡残差 $\text{就绪}$

高度推断润湿张力 $\text{就绪}$

独立已知接触角时的张力 $\text{就绪}$

采集测点数 $\text{就绪}$

原始坐标拟合残差 $\text{就绪}$

推断状态 $\text{就绪}$

模型适用域 $\text{就绪}$

设定几何，再从读数推断

液面揭示了什么？

参考管半径

r_0

0.50\,mm

表面张力

\gamma

72.80\,mN/m

中心接触角

\theta_0

25.00\,{}^\circ

施加的接触角区间宽度

\Delta\theta

0.00\,{}^\circ

分支：后退、中心、前进

b

0.00\,

密度

\rho

1000.00\,kg/m^3

重力加速度

g

9.81\,m/s^2

选中管比例

\xi_p

0.50\,

高度扰动倍率

\epsilon

0.00\,

液池液面保持在零高度。五根开口细管装同一种液体，接触角也相同，半径分别是参考值的 0.6、0.8、1、1.3 和 1.6 倍。高度为正表示液面上升，为负表示下降。场景按统一比例画，管壁、夹具和光学探针只是示意。

把弯月面当作球面，是小 Bond 数下的近似。体积平均高度由竖直方向的表面力平衡决定，这个力可以向上也可以向下；中心和管壁处的液面高度并不相同。管的 Bond 数不超过 0.1 才能采集，更粗的管只显示虚线候选图。这个界限不是误差界，模型也没有求解重力变形下的 Young–Laplace 方程。

“前进”“后退”按钮把接触角设到区间的两端，不模拟接触线的移动或钉扎。光学高度是相对液池液面的体积平均高度，不是中心像素处的高度。把高度对半径的倒数作直线拟合，可以估计润湿张力。要单独求表面张力，必须知道接触角；接近中性润湿时不给出这个估计。改配置会清空读数，换选另一根管会保留读数。

模型是静态的：Bond 数小，弯月面取球面，液池液位保持不变。高度数据只能定出表面张力乘以接触角余弦；要单独得到张力，必须另外知道接触角。不求解接触线的动力学。

先抓重点

核心问题: 力平衡里该用哪个液面高度？
一句话直觉: 先确认近似成立，再用彼此独立的原始读数推断参数。

核心数学模型

平均液柱的力平衡

\rho g\pi r^2\overline h=2\pi r\gamma\cos\theta

高度是液柱的体积平均高度，从液位不变的液池算起，低于液池时为负。

球面弯月面

\begin{aligned}\overline h&=\frac{2\gamma\cos\theta}{\rho gr}\\\Delta p&=p_l-p_g=-\frac{2\gamma\cos\theta}{r}\end{aligned}

压力跃变取小 Bond 数下球面弯月面的参考值。液柱上升和下降时，它的符号相反。

重力与毛细力比较

\mathrm{Bo}=\rho gr^2/\gamma

把弯月面当成球面，就忽略了重力在弯月面上各处的影响差别。这个数不超过 0.1 的管才采集；这条界线不代表通用的误差容限。

高度数据能定出什么

\begin{aligned}\overline h_i&=b+S/r_i\\\widehat{\gamma\cos\theta}&=\rho gS/2\end{aligned}

拟合时让高度截距自由变化，推出润湿张力。再除以另外已知的接触角余弦，才得到张力；中性润湿附近不行。

施加的接触角

\theta=\operatorname{clip}\!\left(\theta_0+b\Delta\theta/2,0^\circ,180^\circ\right)

接触角取后退、中心或前进三种值之一。这是人为设定的静态比较，不模拟钉扎或润湿动力学。

常见难点

参考曲线不是估计值

容易误解不记录数据，也能读出估计值。

正确理解清空记录，估计值就没了。传感器扰动可能拟合出不合物理的结果；估计值不做截断，也没有独立校准。

动手实验

01
比较管径
选择润湿上升，查看五个弯月面和测量位置视角。
你会看到： 管越细，液面升得越高。中心处的高度和体积平均高度不一样。
02
反转润湿
比较中性润湿与不润湿下降。
你会看到： 曲率、带符号的高度和压力跃变一起改变。
03
比较前进角与后退角
选择角度滞后，切换前进与后退。
你会看到： 液体和管径都相同，施加的接触角不同，静止高度也不同。
04
测量整排管子
采集合格管，增加高度扰动并导出 CSV。
你会看到： 高度对半径倒数做直线拟合，可以估出润湿张力。中性润湿时，单靠高度定不出张力。

表面张力与毛细实验室

弯月面也是力平衡

核心数学模型

平均液柱的力平衡

球面弯月面

重力与毛细力比较

高度数据能定出什么

施加的接触角

常见难点

参考曲线不是估计值

动手实验

比较管径

反转润湿

比较前进角与后退角

测量整排管子

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