IN05 · 从升温曲线测热容

电热量热计

杯子也在升温，热还会漏走，怎样从温度曲线测出样品比热？ 记下输入的电能，再追踪加热和冷却时的温度。另用同量水做一次不放样品的实验，就能量出杯子和水一起吸收多少热。多出的热容属于样品，冷却尾部则告诉我们热漏得多快。

把样品放进持续搅拌的水浴，记录电能输入和温度计响应。另做一份同量水的空白实验，再从保留的温度曲线扣除杯子吸热、修正漏热与探针滞后。

所存样品比热 $901\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$

所存散热系数 $0.720\,\mathrm{W\,K^{-1}}$

所存电能输入 $1920\,\mathrm{J}$

回放探针温度 $25.0\,{}^\circ\mathrm{C}$

模型假设

模拟搅拌均匀的水浴，以及通过热导与水浴交换能量的有限热容探针。内杯、加热器和样品共用水浴温度；外套改变给定的散热系数。等体积环形试样的前侧透视显示，便于查看浸入部件。空白与样品实验保留同量水。探针热容预先给定，温度另用理想参考做两点标定，再由含噪声的恒温浴阶跃记录测响应时间。电压、电流采用理想区间读数。比热与散热只从保存的观测反演。材料比热是室温附近的固定教学值，忽略蒸发、相变、温度梯度、接触热阻和搅拌做功。时间加速三十倍回放；颜色与能量标记为示意。

保存的升温与冷却曲线

默认模拟探测记录

$t/\mathrm{s},\qquad T_p/{}^\circ\mathrm{C}$

青色：样品探测读数。金色：独立的同量水空白。白色虚线：用拟合热容与散热系数重算的探针响应。

原始读数、探针标定与模型

探针在恒温浴中的响应

$t/\mathrm{s},\qquad T_p/{}^\circ\mathrm{C}$

$\tau_p=4.00\,\mathrm{s},\quad C_p=1.50\,\mathrm{J\,K^{-1}}$

探针热容是预先给定的教学参数。恒温浴阶跃只测响应时间，不测热容。

所选样品原始读数

$t/\mathrm{s}$	$V/\mathrm{V}$	$I/\mathrm{A}$	$T_{p,\mathrm{raw}}/{}^\circ\mathrm{C}$

电压、电流表示此前一个恒功率采样区间。CSV 包含全部空白、样品和探针标定读数；JSON 还保留另行标明的理想模型状态，供装置回放。

$C_{b,\mathrm{blank}}=282\,\mathrm{J\,K^{-1}},\quad C_{b,\mathrm{sample}}=327\,\mathrm{J\,K^{-1}}$

实验开始时，水浴、探针和恒温室内环境处于热平衡。水、内杯、加热器与样品共用一个温度，探针另有热容。小幅温升内采用固定散热系数，忽略搅拌做功、蒸发与相变。噪声是可复现的教学扰动，不代表经过认证的不确定度。

环形试样前侧透视显示，便于看清浸入部件；质量与排液体积保持不变。绘图采用给定水密度： $\rho_w=1000\,\mathrm{kg\,m^{-3}}$

先抓重点

核心问题: 杯子也在升温，热还会漏走，怎样从温度曲线测出样品比热？
一句话直觉: 先量同量水与杯子的热容，再扣掉它；曲线怎样弯、怎样冷下来，则给出漏热速度。

核心数学模型

水浴与探针各自储存能量

C_b\dot T_b=VI-H(T_b-T_a)-G_p(T_b-T_p),\qquad C_p\dot T_p=G_p(T_b-T_p)

水浴包含水、内杯、加热器和样品。探针有自己的热容和温度。规定从较热水浴流向室内的散热为正；温差用开尔文。

用空白扣掉杯子与水

c_s=\frac{C_{b,\mathrm{sample}}-C_{b,\mathrm{blank}}}{m_s}

两份热容都从保存的电压、电流和温度求出。空白保留同量水、同一个杯子和加热器；样品质量用千克。

积分后再修正探针滞后

J_E-C_pA=C_b(A+\tau_p\Delta T_p)+H(B+\tau_p A)

A 是探针相对初温的温差随时间的积分；B 是探针与室温之差的两次积分；J 是累计电能再对时间积分。实验开始时探针与水浴温度相同，响应时间另由恒温浴阶跃标定。这样不用对含噪声温度求导。

常见难点

空白仍然有水

容易误解做空白，就是给干燥的空杯通电。

正确理解空白只取走样品，同量水仍盖过加热器和探针。

动手实验

01
打开绝热套
把青色把手向下拖，或调大绝热套开口，再保存一组空白与样品实验。
你会看到： 升温曲线弯得更明显，冷却尾部降得更快。此前保存的曲线保持原样。
02
比较同量水的空白
比较金色空白曲线与青色样品曲线，两次加热输入相同。
你会看到： 放入样品后，同样的电能分给了更多会吸热的东西，升温便小一些。
03
让温度计慢下来
选温度计慢半拍并保存实验，展开探针标定查看恒温浴中的阶跃响应。
你会看到： 断电以后探针还可能继续升温。测得的响应时间会进入热容反演。

电热量热计

保存的升温与冷却曲线

探针在恒温浴中的响应

所选样品原始读数

量出跟着样品一起升温的东西

核心数学模型

水浴与探针各自储存能量

用空白扣掉杯子与水

积分后再修正探针滞后

常见难点

空白仍然有水

动手实验

打开绝热套

比较同量水的空白

让温度计慢下来

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