M021 · IN02 · 精密称量

精密天平与空气浮力

同一个物体，换了空气密度，读数为什么会变？ 空气会同时托住样品和砝码。两者密度不同，排开的空气也不同，质量示值就会改变；知道各自密度后，可以用浮力修正恢复质量。

移动称盘悬点，标定零点和灵敏度，比较直接称量与替代称量。保存探测信号，再修正空气浮力。原有力矩工作台仍可使用。

质量示值 $99.8950\,\mathrm{g}$

浮力修正后质量 $100.0000\,\mathrm{g}$

空气浮力修正 $105\,\mathrm{mg}$

所存探测信号 $-15.4\,\mathrm{div}$

空气托起了多少？

拖动样品盘悬点或金色砝码。改动装置前，可以先保存一份称量。

仪器称量方法样品质量

m_x/\mathrm{g}

100

标准砝码

m_r/\mathrm{g}

100

空气密度

\rho_a/(\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3})

1.2

样品密度

\rho_x/(\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3})

1000

几何、漂移与噪声

左侧悬点偏移

x/\mathrm{mm}

0

支点偏移

p/\mathrm{mm}

0

零点偏移

z/\mathrm{mg}

0.8

每秒零点漂移

\dot z/(\mathrm{mg}\,\mathrm{s}^{-1})

0.08

噪声上界

\epsilon/\mathrm{mg}

0.03

种子

s

175

悬点移动会改变力臂；样品只在理想的自由悬挂称盘内移动，力臂并不会变。改变几何或仪器后应重新标定。

模型假设

这是准静态教学装置，力臂刚性，恢复刚度设为线性，材料密度已知。示值表示样品在当前空气中相对于已知真实质量、密度为每立方米八千千克的标准砝码的比较结果。空气密度直接设定，不从气象读数计算。电磁补偿图采用固定的每安培十牛顿力常数与理想反馈。不含摩擦、滞后、对流及伺服细节。梁到限位即停止偏转；称量信号取自力的比较，不从限位后的画面角度反推。

探测器留下的读数

横轴：观测时刻。纵轴：所存探测信号；每个点是一次采样。

时刻	左侧载荷	原始信号	右侧配重

标定、模型与来源

F_g-F_b=mg\left(1-\frac{\rho_a}{\rho}\right)

空气向上托住物体，托力等于它排开空气的重量。样品和砝码排开的空气可以不同。

m_x=m_{\rm ind}\frac{1-\rho_a/\rho_r}{1-\rho_a/\rho_x}

质量示值以当前空气中的真实质量砝码作比较。修正时，样品密度、砝码密度与空气密度都须已知。

力臂从支点量到悬点。梁转角为正时左盘下降。指针恢复刚度直接设定；平衡角越过允许范围时，梁停在限位。
电磁补偿图用固定力常数线圈替代右侧砝码。理想伺服让梁保持水平，用所测电流确定平衡力矩。
同盘替代会消去固定配重与两臂不等的影响。两次样品读数夹住一次标准读数，平均后可消去这一段线性漂移。
标定保存空盘与十克标准的两次读数。重复性噪声按固定种子在给定上界内取样；零点和灵敏度标定理想化为短时测量。

NIST SOP 2 (2019), equations 3 and 5, section 5.1 · METTLER TOLEDO, External Influences (2001), pp. 1–2

先抓重点

核心问题: 同一个物体，换了空气密度，读数为什么会变？
一句话直觉: 天平比较向下压称盘的力；样品与砝码排开的空气不同，就要修正浮力。

核心数学模型

空气托走了一部分重量

F=mg(1-\rho_a/\rho)

质量用千克、密度用千克每立方米、力用牛顿。空气的托力等于物体排开空气的重量。

从比较示值恢复质量

m_x=m_{\rm ind}\frac{1-\rho_a/\rho_r}{1-\rho_a/\rho_x}

示值用当前空气中的真实质量标准作比较。修正需要知道样品和砝码各自的密度。

前后两次样品夹住一次标准

\Delta s=\frac{s_{A,0}+s_{A,10}}{2}-s_{B,5}

三次采样等间隔，两次样品读数的平均可消去线性零漂。用所存标定的灵敏度，把信号差换成质量差。

常见难点

质量与示值

容易误解空气密度变了，样品的质量也变了。

正确理解改变的是样品排开空气的重量。称盘接到的向下力变了，示值随之改变。

力从哪里传到梁上

容易误解物体在自由悬挂的称盘里滑动，也会改变它对梁的力臂。

正确理解称盘通过悬点向梁传力。本实验移动的是悬点，所以力臂确实改变。

动手实验

01
先比较密度
比较“空气托起样品”和“密度相同”。
你会看到： 样品与标准密度相同时，浮力修正为零。
02
换一种称法
比较“力臂不等”和“同盘替代”，分别保存称量。
你会看到： 两臂虽然不等，同盘替代仍会消去固定配重的影响。
03
留住一份测量
保存称量，再移动样品悬点，然后选回旧称量。
你会看到： 当前装置的预览变了，原来存下的探测读数与标定仍保持不变。
04
用线圈代替砝码
选择“用电流平衡”。
你会看到： 理想反馈让梁保持水平，测到的线圈电流给出平衡所需的力。

先抓重点

核心问题: 最小的配重能平衡一根挂着载荷的梁吗？
一句话直觉: 配重放在对侧、力臂最长的位置，所需质量最小。

核心数学模型

力与力矩平衡

\sum F_y=0,\qquad\sum\tau_p=0

绕梁所在平面的法向，逆时针力矩为正。铰链向上托住梁，夹具提供让梁保持不动的力偶。

重力力矩，梁也算在内

\tau_g=-g\left[m_L(x_L-p)+m_R(x_R-p)+m_c(x_c-p)-m_b p\right]

位置以米为单位，从梁的中点量起。均匀梁的重量作用在中点。

只能推的支座

R_b=Mg\frac{x_C-a}{b-a},\qquad R_a=Mg-R_b,\qquad R_a,R_b\geq0

双支座时，如果算出的反力为负，说明质心落在两个支座之外。

最小配重

m_{c,\min}=\frac{|m_L(x_L-p)+m_R(x_R-p)-m_b p|}{|x_{c,\mathrm{opt}}-p|}

配重放在对侧允许的最远位置。要平衡的力矩里，不算梁上现有的配重。

用传感器读数的斜率估计质量

\widehat m_c=\frac{1}{g}\frac{\mathrm d\tau_{\mathrm{hold}}}{\mathrm d x_c}=\frac{b-a}{g}\frac{\mathrm dR_b}{\mathrm d x_c}

两种测法读的传感器不同，单位也不同。用已知的支座位置，拟合原始的虚拟读数。

常见难点

夹具会掩盖不平衡

容易误解梁被夹具夹着不动，即使夹具力矩不为零，也算自己平衡了。

正确理解松开夹具，剩下的重力矩就会让梁转起来。

别忘了梁本身

容易误解只有看得见的砝码产生重力矩。

正确理解支点一离开中点，均匀梁自身的重量就有了力臂。

支座不能拉

容易误解负反力就是支座真的在向下拉梁。

正确理解实际上梁会离开支座。算出的反力只用来提示这种情况。

动手实验

01
解最小配重谜题
移动铰链，试试“放置最小配重”。
你会看到： 载荷和梁的重力矩一变号，最佳位置就换到另一端。
02
松开夹具
比较“力矩谜题”和“平衡梁”，分别从静止释放。
你会看到： 只有不平衡的梁会转动；一直转到限位，能量都守恒。
03
检查支座接触
选择“双支座”，把重载荷移到两个支座外面。
你会看到： 算出的反力变号，传感器不再记录物理读数。
04
估计未知质量
设一个不为零的配重，扫描它的位置，再加入传感器噪声。
你会看到： 拟合直线的斜率给出质量；移动配重时，已记录的数据会保留。

精密天平与空气浮力

探测器留下的读数

空气改变了称盘接到的力

核心数学模型

空气托走了一部分重量

从比较示值恢复质量

前后两次样品夹住一次标准

常见难点

质量与示值

力从哪里传到梁上

动手实验

先比较密度

换一种称法

留住一份测量

用线圈代替砝码

平衡需要受力与力矩账本

核心数学模型

力与力矩平衡

重力力矩，梁也算在内

只能推的支座

最小配重

用传感器读数的斜率估计质量

常见难点

夹具会掩盖不平衡

别忘了梁本身

支座不能拉

动手实验

解最小配重谜题

松开夹具

检查支座接触

估计未知质量

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