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Sandbox Physics

M021 · 刚体静力学

杠杆与力矩谜题

均匀梁、夹持载荷、可移动铰链与单向支座。扫描传感器、拟合配重质量，再释放夹具。

交互模型杠杆与力矩谜题
总质量—\text{—}
沿梁质心位置—\text{—}
初始铰链重力矩—\text{—}
保持夹具力偶—\text{—}
单铰链反力—\text{—}
实际左支座反力—\text{—}
实际右支座反力—\text{—}
所需左反力—\text{—}
所需右反力—\text{—}
最小配重—\text{—}
最佳配重位置—\text{—}
传感器斜率拟合质量—\text{—}
平衡状态—\text{—}
选定转轴惯量—\text{—}
观测数量—\text{—}
拟合残差均方根—\text{—}
当前转角—\text{—}
角速度—\text{—}
机械能账本误差—\text{—}
终止接触吸收能量—\text{—}

物理教程

平衡需要受力与力矩账本

背景均匀梁承载两个已知载荷与可移动配重。

为什么值得理解OpenStax 静力平衡条件把任意力矩原点与同一物理受力账本连接起来。

先抓重点

核心问题
最小的配重能平衡这根梁吗？
一句话直觉
反向力臂越长，所需配重越少。

核心数学模型

力与力矩平衡

∑Fy=0,∑τp=0\sum F_y=0,\qquad\sum\tau_p=0

关于梁平面法向的逆时针力矩为正。铰链提供向上反力，夹具提供保持力偶。

重力与均匀梁

τg=−g[mL(xL−p)+mR(xR−p)+mc(xc−p)−mbp]\tau_g=-g\left[m_L(x_L-p)+m_R(x_R-p)+m_c(x_c-p)-m_b p\right]

米制坐标从梁中点量起。均匀梁自重作用于中点。

单向支座

Rb=MgxC−ab−a,Ra=Mg−Rb,Ra,Rb≥0R_b=Mg\frac{x_C-a}{b-a},\qquad R_a=Mg-R_b,\qquad R_a,R_b\geq0

双支座模式中所需反力为负，表示质心处于支撑区间之外。

最小配重

mc,min⁡=∣mL(xL−p)+mR(xR−p)−mbp∣∣xc,opt−p∣m_{c,\min}=\frac{|m_L(x_L-p)+m_R(x_R-p)-m_b p|}{|x_{c,\mathrm{opt}}-p|}

选取允许范围内反向最远位置；目标账本不含现有配重。

传感器斜率质量估计

m^c=1gdτholddxc=b−agdRbdxc\widehat m_c=\frac{1}{g}\frac{\mathrm d\tau_{\mathrm{hold}}}{\mathrm d x_c}=\frac{b-a}{g}\frac{\mathrm dR_b}{\mathrm d x_c}

两种测量使用不同传感器单位。使用已知支座几何拟合原始虚拟观测。

常见难点

约束也是力源

容易误解夹具力矩非零而静止的梁已经自由平衡。

正确理解释放夹具后，剩余重力矩驱动旋转。

别忘记梁本身

容易误解只有可见砝码产生重力矩。

正确理解移动支点使均匀梁自重获得非零力臂。

支座不能拉

容易误解负反力是支座施加的实际向下力。

正确理解接触将脱离；所需反力仅作诊断。

动手实验

  1. 01

    解最小配重谜题

    移动铰链并尝试自动配重解。

    应该观察到： 基本重力矩变号时，最佳反向端点也改变。
  2. 02

    释放保持夹具

    比较力矩谜题与平衡梁预设，再各自从静止释放。

    应该观察到： 只有不平衡梁转动；终止限位处能量账本闭合。
  3. 03

    核对支座接触

    选择双支座，把重载荷移到支撑区间外。

    应该观察到： 所需反力变号，物理采样被禁用。
  4. 04

    估计未知质量

    设置非零配重并扫描位置，再加入传感器噪声。

    应该观察到： 拟合斜率估计质量；移动配重位置保留观测。